Calcule os limites a seguir:
(b) lim x 3(x^3-27x-3)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao tema de limites no cálculo, especialmente lidando com uma indeterminação do tipo . Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x^3 - 27 = 3^3 - 27 = 27 - 27 = 0 diretamente na expressão:
x - 3 = 3 - 3 = 0
Então, temos a forma indeterminada . Isso nos indica que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) . Observamos que x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) , então temos uma diferença de cubos. A diferença de cubos pode ser fatorada usando a fórmula:
Aplicando essa fórmula com e :

Passo 4

Agora, substituímos a fatoração de volta na expressão original:
x^3 - 27x - 3 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)x - 3
Podemos cancelar o termo (x - 3)(x^2 + 3x + 9)x - 3 = x^2 + 3x + 9 no numerador e no denominador (desde que ):

Passo 5

Agora que a expressão está simplificada, podemos calcular o limite substituindo limx 3 (x^2 + 3x + 9) = 3^2 + 3 times 3 + 9 = 9 + 9 + 9 = 27 :

Resposta

O limite é igual a 27.

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