Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem que é
. Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares e a gente vai precisar usar o método do fator integrante para achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação na forma padrão:
. No nosso caso, reescrevendo a equação:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. A fórmula do fator integrante é:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso simplifica bastante a nossa resolução!
Passo 6
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados da equação:
Integrando:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é: