Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
(j) y' - 2y = e^(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem que é . Esse tipo de equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares e a gente vai precisar usar o método do fator integrante para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação na forma padrão: . No nosso caso, reescrevendo a equação:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. A fórmula do fator integrante é:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso simplifica bastante a nossa resolução!

Passo 6

Para encontrar , vamos integrar ambos os lados da equação:
Integrando:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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