Determinar a torção em um ponto qualquer da curva:
c) r(t) = (3 cos(t), 3 sen(t), -5 t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Tamo aqui com uma curva definida pela função vetorial . Nosso objetivo é descobrir a torção dessa curva em qualquer ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a curvas no espaço, como derivadas de , produto vetorial e a fórmula da torção.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que é a derivada de , ou seja, :

Passo 4

Em seguida, calculamos a terceira derivada :

Passo 5

Para achar a torção , usamos a fórmula:
Primeiro, vamos calcular o determinante do determinante formado por , e .

Passo 6

Calculando o determinante:
Expandindo o determinante:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Calculando:
Simplificando:
Como , fica:
Agora, a norma desse vetor:

Passo 8

Voltando à fórmula da torção:
Podemos simplificar:
Ou, usando a identidade trigonométrica :

Resposta

A torção da curva em qualquer ponto é:

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