Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
(a) (x + 3y) - x y' = 0

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma equação diferencial linear de primeira ordem: . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares, e pra resolver esse tipo de equação, precisamos reorganizar a equação na forma padrão e usar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação mais clara. A gente pode reescrever como . Agora, vamos isolar :
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos colocar essa equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é . Comparando com a nossa equação:
Aqui, identificamos e .

Passo 4

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Agora, resolvemos para :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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