Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma equação diferencial linear de primeira ordem:
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares, e pra resolver esse tipo de equação, precisamos reorganizar a equação na forma padrão e usar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação mais clara. A gente pode reescrever
como
. Agora, vamos isolar
:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos colocar essa equação na forma padrão das equações diferenciais lineares de primeira ordem, que é
. Comparando com a nossa equação:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 4
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Agora, resolvemos para
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.