Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
d) r(t) = (2 cos t, 2 sen t, 2 - 2 sen t) ; P0(0, 2, 0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma curva definida pela função vetorial e um ponto específico nessa curva, . Nosso objetivo é encontrar o vetor tangente unitário à curva nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores.

Passo 2

O primeiro passo para encontrar o vetor tangente é derivar a função vetorial vec(r)(t) em relação a t. A derivada de vec(r)(t), denotada por , nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto t. Vamos calcular cada componente:
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de t que corresponde ao ponto . Vamos igualar cada componente de vec(r)(t) às coordenadas de P0:
Resolvendo a primeira equação:
Verificamos que esse valor de t satisfaz as outras duas equações:
Então, o valor de t no ponto P0 é .

Passo 4

Com o valor de , substituímos na derivada para encontrar o vetor tangente nesse ponto:

Passo 5

Agora, precisamos transformar esse vetor tangente em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, vamos calcular a norma (magnitude) de :
Então, o vetor unitário tangente é:

Resposta

O vetor tangente unitário à curva no ponto é .

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