Encontrar o vetor tangente unitário às seguintes curvas, nos pontos indicados:
d)
d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma curva definida pela função vetorial
e um ponto específico nessa curva,
. Nosso objetivo é encontrar o vetor tangente unitário à curva nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores.
Passo 2
O primeiro passo para encontrar o vetor tangente é derivar a função vetorial
em relação a
. A derivada de
, denotada por
, nos dá o vetor tangente à curva em qualquer ponto
. Vamos calcular cada componente:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
que corresponde ao ponto
. Vamos igualar cada componente de
às coordenadas de
:
Resolvendo a primeira equação:
Verificamos que esse valor de
satisfaz as outras duas equações:
Então, o valor de
no ponto
é
.
Passo 4
Com o valor de
, substituímos na derivada
para encontrar o vetor tangente nesse ponto:
Passo 5
Agora, precisamos transformar esse vetor tangente em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, vamos calcular a norma (magnitude) de
:
Então, o vetor unitário tangente é:
Resposta
O vetor tangente unitário à curva no ponto
é
.