Calcule os limites a seguir:
(c) lim x 0(3^1 / x^2+13^1 / x^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite quando limx 0(3^1 / x^2+13^1 / x^2-1) se aproxima de 0 da seguinte expressão:
Vamos usar conceitos de limites e funções exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, observe que quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Assim, fica cada vez maior, ou seja, tende ao infinito.

Passo 3

Com isso em mente, a expressão se torna , que é igual a infinito. Ou seja, cresce sem limite conforme se aproxima de 0.

Passo 4

Substituindo isso na expressão original, temos:
3^1 / x^2 + 13^1 / x^2 - 1 approx +infty + 1+infty - 1
Quando adicionamos ou subtraímos um número finito a algo que está indo para infinito, isso praticamente não altera o valor. Então, tanto no numerador quanto no denominador, o termo dominante é .

Passo 5

Para resolver a forma indeterminada 3^1 / x^2 + 13^1 / x^2 - 1 = 1 + 3^-1/x^21 - 3^-1/x^2 , vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por :

Passo 6

Agora, observe que é o mesmo que . Como está indo para infinito, está indo para 0.

Passo 7

Substituindo 1 + 01 - 0 = 11 = 1 por 0 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a 1.

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