Determinar a curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a curvatura da curva definida pela equação no ponto . A curvatura basicamente nos mostra o quanto a curva está “curvada” naquele ponto específico. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, encontrando as derivadas da função para aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar em função de para facilitar a derivação. A equação dada é:
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a :
Passo 3
Em seguida, vamos achar a segunda derivada de em relação a :
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula da curvatura para curvas no plano cartesiano:
Isso nos ajuda a calcular quão “afiada” é a curva naquele ponto específico.
Passo 5
Vamos substituir nas derivadas e na fórmula da curvatura:
Agora, substituindo na fórmula da curvatura:
Resposta
A curvatura da curva no ponto é ou aproximadamente .