Calcule os limites a seguir caso existam.
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-13 x^{2}+51 x-63}{x^{3}-4 x^{2}-3 x+18}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to3} \frac{x^{3}-13x^{2}+51x-63}{x^{3}-4x^{2}-3x+18}.
O conteúdo é limites de função racional e fatoração de polinômios para tratar indeterminações. Vamos usar o Teorema do Resto (avaliar raízes) e divisão sintética para fatorar.

Passo 2

Substituindo x=3 diretamente, no numerador temos
3^3 -13\cdot3^2 +51\cdot3 -63 = 27 -117 +153 -63 = 0,
e no denominador
3^3 -4\cdot3^2 -3\cdot3 +18 = 27 -36 -9 +18 = 0.
Portanto a forma é \tfrac{0}{0}, indeterminada.

Passo 3

Fatoramos o numerador dividindo por x-3 (divisão sintética):
x^3 -13x^2 +51x -63 = (x-3)\bigl(x^2 -10x +21\bigr) = (x-3)(x-3)(x-7) = (x-3)^2(x-7).

Passo 4

Fatoramos o denominador por x-3:
x^3 -4x^2 -3x +18 = (x-3)\bigl(x^2 - x -6\bigr) = (x-3)(x-3)(x+2) = (x-3)^2(x+2).

Passo 5

Cancelamos o fator comum (x-3)^2 e obtemos a função equivalente
\frac{x-7}{x+2}.
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\lim_{x\to3}\frac{x-7}{x+2} = \frac{3-7}{3+2} = \frac{-4}{5}.

Resposta

-\tfrac{4}{5}

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