Questão 2: uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada num ponto A à margem de um rio de 400 m de largura. Existe um conjunto habitacional situado em um ponto H na outra margem do rio, 2000 m abaixo da central de abastecimento. O custo da obra através do rio é de
500,00
200,00 por metro. Qual a forma mais econômica de se instalar a rede de água?
Passo 1
O enunciado descreve um problema de otimização na disciplina de Cálculo (aplicações de derivadas). Temos uma fonte em
sobre a margem de um rio de largura
m e um ponto
na outra margem, a
m rio abaixo de
. O custo de instalação de tubulação sob a água é de
por metro e em terra é de
por metro. Queremos decidir em que ponto
da margem oposta instalar a tubulação até
, de forma a minimizar o custo total.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas: coloque
na margem inicial e
na margem oposta. Seja
o ponto em que a tubulação sai da água.
- A distância subaquática
vale
- A distância em terra de
a vale
desde que
.
Passo 3
Escrevemos o custo total
em função de
:
Passo 4
Para encontrar o mínimo, derivamos
e igualamos zero:
Isolando e elevando ao quadrado:
Passo 5
Verificamos que
, logo o mínimo ocorre nesse valor de
.
As distâncias ficam:
As distâncias ficam:
Resposta
O custo fica mínimo se a tubulação subaquática for instalada de
até um ponto
na margem oposta localizado
m rio abaixo da projeção de
, percorrendo aproximadamente
m debaixo d’água, e depois seguir em terra
m até
.