Questão 2: uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada num ponto A à margem de um rio de 400 m de largura. Existe um conjunto habitacional situado em um ponto H na outra margem do rio, 2000 m abaixo da central de abastecimento. O custo da obra através do rio é de \mathrm{R} \ 500,00 por metro, enquanto em terra custa R\200,00 por metro. Qual a forma mais econômica de se instalar a rede de água?

Passo 1

O enunciado descreve um problema de otimização na disciplina de Cálculo (aplicações de derivadas). Temos uma fonte em A sobre a margem de um rio de largura 400 m e um ponto H na outra margem, a 2000 m rio abaixo de A. O custo de instalação de tubulação sob a água é de \mathrm{R}\$500,00 por metro e em terra é de \mathrm{R}\$200,00 por metro. Queremos decidir em que ponto B da margem oposta instalar a tubulação até H, de forma a minimizar o custo total.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas: coloque A=(0,0) na margem inicial e H=(2000,400) na margem oposta. Seja B=(d,400) o ponto em que a tubulação sai da água.
  • A distância subaquática AB vale
\lvert AB\rvert = \sqrt{d^{2} + 400^{2}}.
  • A distância em terra de B a H vale
\lvert BH\rvert = 2000 - d,
desde que 0\le d\le 2000.

Passo 3

Escrevemos o custo total C(d) em função de d:
C(d) = 500 \,\sqrt{d^{2} + 400^{2}}\;+\;200\,(2000 - d).

Passo 4

Para encontrar o mínimo, derivamos C(d) e igualamos zero:
C'(d) = 500 \,\frac{d}{\sqrt{d^{2}+400^{2}}}\;-\;200 \quad\Longrightarrow\quad 500\,\frac{d}{\sqrt{d^{2}+400^{2}}}=200.
Isolando e elevando ao quadrado:
\frac{5d}{\sqrt{d^{2}+400^{2}}}=2 \quad\Longrightarrow\quad 25d^{2}=4\bigl(d^{2}+160000\bigr) \quad\Longrightarrow\quad 21d^{2}=640000 \quad\Longrightarrow\quad d=\sqrt{\frac{640000}{21}}\approx 174{,}6\text{ m}.

Passo 5

Verificamos que 0<174{,}6<2000, logo o mínimo ocorre nesse valor de d.
As distâncias ficam:
AB=\sqrt{174{,}6^{2}+400^{2}}\approx 436{,}5\text{ m}, \quad BH=2000-174{,}6=1825{,}4\text{ m}.

Resposta

O custo fica mínimo se a tubulação subaquática for instalada de A até um ponto B na margem oposta localizado 174{,}6 m rio abaixo da projeção de A, percorrendo aproximadamente 436{,}5 m debaixo d’água, e depois seguir em terra 1825{,}4 m até H.

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