Calcule os limites a seguir caso existam.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(5 x^{10}+32\right)^{3}}{\left(1-2 x^{6}\right)^{5}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to+\infty} \frac{\bigl(5x^{10}+32\bigr)^{3}}{\bigl(1-2x^{6}\bigr)^{5}}.
Este é um problema de limites no infinito de potências de polinômios. Para resolvê-lo, vamos comparar as ordens de crescimento no numerador e no denominador, fatorando a maior potência de x.

Passo 2

Fatoramos x^{30} (que é 10\cdot3=30 no numerador e 6\cdot5=30 no denominador):
(5x^{10}+32)^{3} = x^{30}\bigl(5+32x^{-10}\bigr)^{3},
(1-2x^{6})^{5} = x^{30}\bigl(x^{-6}-2\bigr)^{5} = x^{30}\bigl(-2 + x^{-6}\bigr)^{5}.
Assim o quociente vira
\frac{(5x^{10}+32)^{3}}{(1-2x^{6})^{5}} = \frac{x^{30}\bigl(5+32x^{-10}\bigr)^{3}}{x^{30}\bigl(-2 + x^{-6}\bigr)^{5}} = \frac{\bigl(5+32x^{-10}\bigr)^{3}}{\bigl(-2 + x^{-6}\bigr)^{5}}.

Passo 3

Quando x\to+\infty, temos x^{-10}\to0 e x^{-6}\to0. Logo
5+32x^{-10}\;\to\;5, \quad -2 + x^{-6}\;\to\;-2.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{\bigl(5+32x^{-10}\bigr)^{3}}{\bigl(-2 + x^{-6}\bigr)^{5}} = \frac{5^{3}}{(-2)^{5}} = \frac{125}{-32} = -\frac{125}{32}.

Resposta

-\frac{125}{32}.

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