Escreva e resolva a equação de segunda ordem equivalente aos sistemas boldsymbol{Y}^{\prime}(x)=A \boldsymbol{Y}(x)+\boldsymbol{b}, \mathrm{com}:
A=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -9 & 0\end{array}\right) e \boldsymbol{b}=\binom{0}{10 e^{-x}}\

Passo 1

Temos um sistema de equações diferenciais de primeira ordem \boldsymbol{Y}'(x)=A\,\boldsymbol{Y}(x)+\boldsymbol{b}(x)
com
A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] -9 & 0\end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{b}(x) = \begin{pmatrix}0 \\[4pt]10e^{-x}\end{pmatrix}.
Chamando \boldsymbol{Y}(x)=(y_1(x),y_2(x))^T, o objetivo é eliminar y_2 para obter uma equação de segunda ordem para y_1 e então resolver essa ODE.]

Passo 2

Escrevendo o sistema componente a componente, temos
y_1' = y_2, \qquad y_2' = -9\,y_1 + 10e^{-x}.
Derivando a primeira equação, y_1'' = y_2', e substituindo na segunda, obtemos a equação de segunda ordem equivalente:
y_1'' + 9\,y_1 = 10e^{-x}.

Passo 3

Para resolver, primeiramente achamos a solução geral da equação homogênea
y_1'' + 9\,y_1 = 0.
A equação característica é
r^2 + 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 3i.
Logo, a solução homogênea é
y_{1h}(x) = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x).

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular de
y_1'' + 9\,y_1 = 10e^{-x}
por coeficientes a determinar. Fazemos o palpite
y_{1p}(x) = A\,e^{-x}.
Então
y_{1p}'' = A\,e^{-x},
e substituindo na ODE:
A\,e^{-x} + 9A\,e^{-x} = 10e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad 10A = 10 \quad\Longrightarrow\quad A = 1.
Portanto
y_{1p}(x) = e^{-x}.

Passo 5

A solução geral de y_1 é a soma das partes homogênea e particular:
y_1(x) = C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x) + e^{-x}.

Passo 6

Para obter y_2, usamos y_2 = y_1'. Derivando:
y_2(x) = -3C_1\sin(3x) + 3C_2\cos(3x) \;-\; e^{-x}.

Resposta

A equação de segunda ordem equivalente é
y_1'' + 9\,y_1 = 10e^{-x},
e a solução geral do sistema é
\boldsymbol{Y}(x) = \begin{pmatrix} y_1(x) \\[4pt] y_2(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x) + e^{-x} \\[6pt] -3C_1\sin(3x) + 3C_2\cos(3x) - e^{-x} \end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.]

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