Suponha que a Terra seja redonda e considere
um ponto qualquer na sua superfície. A semi-reta que liga
ao centro da terra fura a superfície em outro ponto
que chamamos de antípoda do ponto
.
(a) Como você parametrizaria o equador, de forma que você conseguisse considerar a sua temperatura como uma função real?
(b) Use o item anterior e o TVI para provar o seguinte fato curioso: em qualquer instante de tempo, existe um ponto sobre o equador da Terra cuja temperatura é a mesma do seu ponto antípoda.
(a) Como você parametrizaria o equador, de forma que você conseguisse considerar a sua temperatura como uma função real?
(b) Use o item anterior e o TVI para provar o seguinte fato curioso: em qualquer instante de tempo, existe um ponto sobre o equador da Terra cuja temperatura é a mesma do seu ponto antípoda.
Passo 1
O enunciado supõe a Terra como uma esfera de raio
e diz que, para cada ponto
na superfície, o ponto oposto
(antípoda) é obtido passando pelo centro da Terra.
(a) Queremos parametrizar o equador de modo a tratar a temperatura nesse círculo como uma função de um único parâmetro real.
(b) Usando essa parametrização, vamos aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) a uma função adequada para mostrar que existe sempre um ponto no equador cuja temperatura coincide com a do seu antípoda.
(a) Queremos parametrizar o equador de modo a tratar a temperatura nesse círculo como uma função de um único parâmetro real.
(b) Usando essa parametrização, vamos aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) a uma função adequada para mostrar que existe sempre um ponto no equador cuja temperatura coincide com a do seu antípoda.
Passo 2
Para parametrizar o equador, note que ele é o círculo de raio
contido no plano
. Uma parametrização padrão é
com
.
Definimos então a função temperatura no equador como
Definimos então a função temperatura no equador como
Passo 3
O antípoda de
está diametralmente oposto no círculo, ou seja,
Logo a temperatura no antípoda é
Definimos a função
Como
é contínua em
,
também é contínua nesse intervalo.
Passo 4
Observe que
Portanto
e
têm sinais opostos. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
Isto é,
ou seja, a temperatura em
é igual à temperatura em seu antípoda.
Resposta
Parametrizamos o equador por
, definimos
, notamos que
e aplicamos o TVI para concluir que existe
com
, mostrando que há um ponto no equador com a mesma temperatura do seu antípoda.