Suponha que a Terra seja redonda e considere P um ponto qualquer na sua superfície. A semi-reta que liga P ao centro da terra fura a superfície em outro ponto Q que chamamos de antípoda do ponto P.
(a) Como você parametrizaria o equador, de forma que você conseguisse considerar a sua temperatura como uma função real?
(b) Use o item anterior e o TVI para provar o seguinte fato curioso: em qualquer instante de tempo, existe um ponto sobre o equador da Terra cuja temperatura é a mesma do seu ponto antípoda.

Passo 1

O enunciado supõe a Terra como uma esfera de raio R e diz que, para cada ponto P na superfície, o ponto oposto Q (antípoda) é obtido passando pelo centro da Terra.
(a) Queremos parametrizar o equador de modo a tratar a temperatura nesse círculo como uma função de um único parâmetro real.
(b) Usando essa parametrização, vamos aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) a uma função adequada para mostrar que existe sempre um ponto no equador cuja temperatura coincide com a do seu antípoda.

Passo 2

Para parametrizar o equador, note que ele é o círculo de raio R contido no plano z=0. Uma parametrização padrão é
E(theta) = l(Rcostheta,;Rsintheta,;0r),
com thetain[0,2pi].
Definimos então a função temperatura no equador como
Tcolon [0,2pi]toR, T(theta)=temperatura em E(theta)

Passo 3

O antípoda de E(theta) está diametralmente oposto no círculo, ou seja,
Q(theta)=E(theta+pi)
Logo a temperatura no antípoda é
Tant(theta)=T(theta+pi)
Definimos a função
f(theta)=T(theta)-T(theta+pi)
Como T é contínua em [0,2pi], f também é contínua nesse intervalo.

Passo 4

Observe que
f(0)=T(0)-T(pi) e f(pi)=T(pi)-T(2pi)=T(pi)-T(0)=-f(0)
Portanto f(0) e f(pi) têm sinais opostos. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe theta^*in(0,pi) tal que
f(theta^*)=0
Isto é,
T(theta^*)=T(theta^*+pi),
ou seja, a temperatura em E(theta^*) é igual à temperatura em seu antípoda.

Resposta

Parametrizamos o equador por ;E(theta)=(Rcostheta,Rsintheta,0), definimos f(theta)=T(theta)-T(theta+pi), notamos que f(0)=-f(pi) e aplicamos o TVI para concluir que existe theta^* com f(theta^*)=0, mostrando que há um ponto no equador com a mesma temperatura do seu antípoda.

Exercícios relacionados