Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas relevantes:
- A função é uma razão de polinómios: numerador
e denominador . - O limite é pedido quando
vai para (ou seja, valores de com grande módulo e sinal negativo).
Passo 2
Estratégia e propriedade usada: para limites de razões de polinómios quando
, uma técnica prática e rigorosa é dividir numerador e denominador pelo maior grau de
que aparece (aqui
). Propriedade usada: é permitido multiplicar numerador e denominador por uma mesma função não-nula (aqui
para
); isso não altera a expressão para
.
Aplicando essa divisão escrevemos:
Passo 3
Efetuando as divisões termo a termo (propriedade distributiva da divisão sobre a soma):
Propriedade usada:
e simplificação de potências de
.
Passo 4
Estudo dos termos que aparecem ao levar
. Propriedades de limites elementares usadas:
-
, porque o denominador cresce em módulo sem limite e a fração tende a zero. -
, pois cresce para e a fração tende a zero.
Portanto:
Passo 5
Usando as leis de limite (linearidade: limite da soma/diferença é soma/diferença dos limites; limite da constante é a constante; e limite do produto/constante multiplicada é a constante vezes o limite), obtemos os limites do numerador e do denominador separados:
Propriedade usada: se
e
, então
e
para constante
.
Passo 6
Como o limite do denominador é
, podemos aplicar a propriedade do quociente de limites: se
e
com
, então
. Assim:
Propriedades usadas: limite do quociente e simplificação de frações.
Passo 7
Comentário didático final (regra prática): para uma razão de polinómios quando
, se os graus do numerador e do denominador são iguais (aqui ambos grau
), o limite é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui
). Se o grau do numerador fosse menor, o limite seria
; se maior, o limite seria
ou
dependendo do sinal dos termos dominantes.