Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{3}-2 x}{10 x^{3}+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a -\infty:
\lim_{x\to -\infty} \frac{5x^{3}-2x}{10x^{3}+x^{2}}.
Informações dadas relevantes:
  • A função é uma razão de polinómios: numerador 5x^{3}-2x e denominador 10x^{3}+x^{2}.
  • O limite é pedido quando x vai para -\infty (ou seja, valores de x com grande módulo e sinal negativo).

Passo 2

Estratégia e propriedade usada: para limites de razões de polinómios quando x\to\pm\infty, uma técnica prática e rigorosa é dividir numerador e denominador pelo maior grau de x que aparece (aqui x^{3}). Propriedade usada: é permitido multiplicar numerador e denominador por uma mesma função não-nula (aqui 1/x^{3} para x\neq0); isso não altera a expressão para x\neq0.
Aplicando essa divisão escrevemos:
\frac{5x^{3}-2x}{10x^{3}+x^{2}} = \frac{\dfrac{5x^{3}-2x}{x^{3}}}{\dfrac{10x^{3}+x^{2}}{x^{3}}}.

Passo 3

Efetuando as divisões termo a termo (propriedade distributiva da divisão sobre a soma):
\frac{5x^{3}-2x}{10x^{3}+x^{2}} = \frac{5 - \dfrac{2x}{x^{3}}}{10 + \dfrac{x^{2}}{x^{3}}} = \frac{5 - \dfrac{2}{x^{2}}}{10 + \dfrac{1}{x}}.
Propriedade usada: \dfrac{ax^{k}}{x^{m}} = a x^{k-m} e simplificação de potências de x.

Passo 4

Estudo dos termos que aparecem ao levar x\to -\infty. Propriedades de limites elementares usadas:
  • \lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x}=0, porque o denominador cresce em módulo sem limite e a fração tende a zero.
  • \lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0, pois x^{2} cresce para +\infty e a fração tende a zero.
Portanto:
\lim_{x\to -\infty} \frac{2}{x^{2}} = 0, \qquad \lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x} = 0.

Passo 5

Usando as leis de limite (linearidade: limite da soma/diferença é soma/diferença dos limites; limite da constante é a constante; e limite do produto/constante multiplicada é a constante vezes o limite), obtemos os limites do numerador e do denominador separados:
\lim_{x\to -\infty}\left(5 - \frac{2}{x^{2}}\right) = 5 - 0 = 5,
\lim_{x\to -\infty}\left(10 + \frac{1}{x}\right) = 10 + 0 = 10.
Propriedade usada: se \lim f = A e \lim g = B, então \lim(f\pm g)=A\pm B e \lim(c\cdot f)=c\cdot A para constante c.

Passo 6

Como o limite do denominador é 10\neq 0, podemos aplicar a propriedade do quociente de limites: se \lim f = A e \lim g = B com B\neq0, então \lim (f/g) = A/B. Assim:
\lim_{x\to -\infty} \frac{5 - \dfrac{2}{x^{2}}}{10 + \dfrac{1}{x}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}.
Propriedades usadas: limite do quociente e simplificação de frações.

Passo 7

Comentário didático final (regra prática): para uma razão de polinómios quando x\to\pm\infty, se os graus do numerador e do denominador são iguais (aqui ambos grau 3), o limite é simplesmente a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui 5/10=1/2). Se o grau do numerador fosse menor, o limite seria 0; se maior, o limite seria +\infty ou -\infty dependendo do sinal dos termos dominantes.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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