Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas:
- A expressão é uma razão (fração) de dois polinômios em
. - O que se quer é o valor desse quociente quando
cresce sem limite (vai para ).
Passo 2
Primeira manipulação algébrica para simplificar a observação do comportamento em infinito: fatorar
(o maior grau presente) no numerador e no denominador e cancelar esse fator. Propriedade usada: fatoração e simplificação algébrica (válida para
; no processo de limite para
essa manipulação é permitida).
Passo 3
Agora vamos tomar o limite termo a termo no numerador. Propriedades usadas: limite da soma é soma dos limites; limite de constante é a constante; limite de produto por constante é a constante vezes o limite; e a conhecida propriedade
(e, consequentemente,
).
-
(constante). -
-
Portanto, pelo uso da propriedade da soma,
Passo 4
Calcular o limite do denominador. Propriedades usadas: mesmas do passo anterior (constante, limites de
).
Logo
Passo 5
Agora aplicamos a propriedade do quociente de limites: se
e
com
, então
. Aqui já temos os limites do numerador e do denominador e o denominador tende a
. Portanto,
Passo 6
Dica prática (útil para prova): para limites quando
de razões de polinômios, uma regra rápida é:
- se os graus (maiores potências) nos dois polinômios são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui
); - se o grau do numerador é menor, o limite é
; - se o grau do numerador é maior, o limite é
dependendo do sinal dominante.
Isso economiza tempo e evita cálculos desnecessários.