Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{6 x^{2}-3 x+1}{2 x^{2}+5}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando x tende a +\infty:
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{6x^{2}-3x+1}{2x^{2}+5}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão (fração) de dois polinômios em x.
  • O que se quer é o valor desse quociente quando x cresce sem limite (vai para +\infty).

Passo 2

Primeira manipulação algébrica para simplificar a observação do comportamento em infinito: fatorar x^{2} (o maior grau presente) no numerador e no denominador e cancelar esse fator. Propriedade usada: fatoração e simplificação algébrica (válida para x\neq0; no processo de limite para x\to+\infty essa manipulação é permitida).
\frac{6x^{2}-3x+1}{2x^{2}+5} = \frac{x^{2}\!\left(6-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\!\left(2+\dfrac{5}{x^{2}}\right)} = \frac{6-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{2+\dfrac{5}{x^{2}}}.

Passo 3

Agora vamos tomar o limite termo a termo no numerador. Propriedades usadas: limite da soma é soma dos limites; limite de constante é a constante; limite de produto por constante é a constante vezes o limite; e a conhecida propriedade \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0 (e, consequentemente, \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0).
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}6 = 6 (constante).
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(-\dfrac{3}{x}\right) = -3\cdot\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x} = -3\cdot 0 = 0.
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{2}} = 0.
Portanto, pelo uso da propriedade da soma,
\lim_{x\to+\infty}\left(6-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=6+0+0=6.

Passo 4

Calcular o limite do denominador. Propriedades usadas: mesmas do passo anterior (constante, limites de 1/x^{2}).
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}2 = 2.
  • \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{5}{x^{2}} = 5\cdot\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{2}} = 5\cdot 0 = 0.
Logo
\lim_{x\to+\infty}\left(2+\dfrac{5}{x^{2}}\right)=2+0=2.

Passo 5

Agora aplicamos a propriedade do quociente de limites: se \lim_{x\to a}A(x)=A e \lim_{x\to a}B(x)=B com B\neq0, então \lim_{x\to a}\dfrac{A(x)}{B(x)}=\dfrac{A}{B}. Aqui já temos os limites do numerador e do denominador e o denominador tende a 2\neq0. Portanto,
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{6x^{2}-3x+1}{2x^{2}+5} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(6-\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(2+\dfrac{5}{x^{2}}\right)} = \frac{6}{2}=3.

Passo 6

Dica prática (útil para prova): para limites quando x\to\pm\infty de razões de polinômios, uma regra rápida é:
  • se os graus (maiores potências) nos dois polinômios são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui 6/2);
  • se o grau do numerador é menor, o limite é 0;
  • se o grau do numerador é maior, o limite é \pm\infty dependendo do sinal dominante.
    Isso economiza tempo e evita cálculos desnecessários.

Resposta

3

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