Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas/observações imediatas:
- As duas frações têm denominador que tende a zero quando
: e . - A substituição direta dá uma forma do tipo
, ou seja, uma forma indeterminada; portanto é preciso manipular algebricamente antes de avaliar o limite.
Passo 2
Usar fatoração de diferença de cubos para simplificar
.
Propriedade usada: fatoração da diferença de cubos:
com
e
resulta em
Passo 3
Reescrever a expressão original substituindo
pela sua fatoração:
Propriedade usada: substituição algébrica (igualdade entre expressões).
Passo 4
Colocar as duas parcelas sobre um único denominador comum
e somar as frações:
Propriedade usada: soma de frações com denominador comum.
Passo 5
Simplificar o numerador:
Fatorar o polinômio
.
Propriedade usada: fatoração de trinômio quadrático. Procura-se fatores de
que somem
: são
e
. Logo
Passo 6
Reescrever a fração com o numerador fatorado:
Agora usar que
para cancelar o fator
:
válido para
.
Propriedades usadas: identidade
; cancelamento de fator comum em numerador e denominador quando
(ou seja, igualdade entre as funções para
próximos de
, exceto em
).
Passo 7
Argumento sobre limites: como a expressão original e a expressão simplificada
são iguais para todo
em um vizinhança de
com
, elas têm o mesmo limite quando
. A função racional
é contínua em
porque o denominador em
é
. Portanto pode-se avaliar o limite por substituição:
Propriedade usada: se
para
em torno de
, então
; e limite de função contínua é igual ao valor da função no ponto.
Passo 8
Calcular o valor por substituição em
:
Propriedade usada: continuidade da função racional no ponto e avaliação direta.