Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right).
Informações dadas/observações imediatas:
  • As duas frações têm denominador que tende a zero quando x\to 1: 1-x\to 0 e 1-x^{3}\to 0.
  • A substituição direta dá uma forma do tipo \frac{1}{0}-\frac{3}{0}, ou seja, uma forma indeterminada; portanto é preciso manipular algebricamente antes de avaliar o limite.

Passo 2

Usar fatoração de diferença de cubos para simplificar 1-x^{3}.
Propriedade usada: fatoração da diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}),
com a=1 e b=x resulta em
1-x^{3}=(1-x)(1+x+x^{2}).

Passo 3

Reescrever a expressão original substituindo 1-x^{3} pela sua fatoração:
\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}} = \frac{1}{1-x}-\frac{3}{(1-x)(1+x+x^{2})}.
Propriedade usada: substituição algébrica (igualdade entre expressões).

Passo 4

Colocar as duas parcelas sobre um único denominador comum (1-x)(1+x+x^{2}) e somar as frações:
\frac{1}{1-x}-\frac{3}{(1-x)(1+x+x^{2})} = \frac{1\cdot(1+x+x^{2})-3}{(1-x)(1+x+x^{2})}.
Propriedade usada: soma de frações com denominador comum.

Passo 5

Simplificar o numerador:
1\cdot(1+x+x^{2})-3 = 1+x+x^{2}-3 = x^{2}+x-2.
Fatorar o polinômio x^{2}+x-2.
Propriedade usada: fatoração de trinômio quadrático. Procura-se fatores de -2 que somem +1: são +2 e -1. Logo
x^{2}+x-2=(x-1)(x+2).

Passo 6

Reescrever a fração com o numerador fatorado:
\frac{x^{2}+x-2}{(1-x)(1+x+x^{2})} = \frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^{2})}.
Agora usar que 1-x=-(x-1) para cancelar o fator (x-1):
\frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^{2})} = \frac{(x-1)(x+2)}{-(x-1)(1+x+x^{2})} = -\frac{x+2}{1+x+x^{2}},
válido para x\neq 1.
Propriedades usadas: identidade 1-x=-(x-1); cancelamento de fator comum em numerador e denominador quando x\neq 1 (ou seja, igualdade entre as funções para x próximos de 1, exceto em 1 ).

Passo 7

Argumento sobre limites: como a expressão original e a expressão simplificada
-\frac{x+2}{1+x+x^{2}}
são iguais para todo x em um vizinhança de 1 com x\neq 1, elas têm o mesmo limite quando x\to 1. A função racional x\mapsto -\dfrac{x+2}{1+x+x^{2}} é contínua em x=1 porque o denominador em x=1 é 1+1+1=3\neq 0. Portanto pode-se avaliar o limite por substituição:
Propriedade usada: se f(x)=g(x) para x\neq a em torno de a, então \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x); e limite de função contínua é igual ao valor da função no ponto.

Passo 8

Calcular o valor por substituição em x=1:
\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right) = \lim_{x\to 1}\left(-\frac{x+2}{1+x+x^{2}}\right) = -\frac{1+2}{1+1+1} = -\frac{3}{3} = -1.
Propriedade usada: continuidade da função racional no ponto e avaliação direta.

Resposta

-1

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