Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Observação direta: ao substituir
temos numerador
e denominador
. Portanto a expressão é do tipo indeterminado
, e precisamos manipular algebricamente ou usar alguma propriedade de limites para obter um valor.
Passo 2
Vou eliminar a indeterminação usando a técnica do conjugado (uma técnica algébrica básica). A propriedade usada é que para quaisquer
e
vale
Multiplico numerador e denominador por
(o conjugado do numerador):
Pelo produto notável acima o numerador vira:
Logo a expressão fica
Passo 3
Agora note outra identidade parecida: para o mesmo motivo
Portanto podemos reescrever o numerador
como
. Substituindo na fração:
Como estamos considerando o limite quando
e nos interessam valores de
diferentes de
para fazer a simplificação, podemos cancelar o fator
(ou seja, usar a propriedade de cancelamento: se
então
). Após o cancelamento obtemos:
Passo 4
Agora aplicamos propriedades de limite e continuidade: as funções
são contínuas para argumentos próximos dos valores aqui usados, e o limite do quociente é o quociente dos limites desde que o limite do denominador seja diferente de zero. Logo
Simplificando a fração obtemos
Passo 5
Breve verificação alternativa (opcional): como começamos com forma
, poderia também aplicar a Regra de L’Hôpital (derivadas do numerador e denominador), que dá
cujo limite quando
é
, confirmando o resultado anterior.