Calcule os limites a seguir, especificando em cada passagem a propriedade utilizada:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{\sqrt{x+9}-3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{x+4}-2}{\sqrt{x+9}-3}.
Observação direta: ao substituir x=0 temos numerador \sqrt{0+4}-2=2-2=0 e denominador \sqrt{0+9}-3=3-3=0. Portanto a expressão é do tipo indeterminado \frac{0}{0}, e precisamos manipular algebricamente ou usar alguma propriedade de limites para obter um valor.

Passo 2

Vou eliminar a indeterminação usando a técnica do conjugado (uma técnica algébrica básica). A propriedade usada é que para quaisquer a e b vale
(a-b)(a+b)=a^2-b^2.
Multiplico numerador e denominador por \sqrt{x+4}+2 (o conjugado do numerador):
\frac{\sqrt{x+4}-2}{\sqrt{x+9}-3} = \frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{(\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{x+4}+2)}.
Pelo produto notável acima o numerador vira:
(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)=(\sqrt{x+4})^2-2^2=(x+4)-4=x.
Logo a expressão fica
\frac{x}{(\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{x+4}+2)}.

Passo 3

Agora note outra identidade parecida: para o mesmo motivo
(\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{x+9}+3)=(\sqrt{x+9})^2-3^2=(x+9)-9=x.
Portanto podemos reescrever o numerador x como (\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{x+9}+3). Substituindo na fração:
\frac{x}{(\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{(\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{x+9}+3)}{(\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{x+4}+2)}.
Como estamos considerando o limite quando x\to 0 e nos interessam valores de x diferentes de 0 para fazer a simplificação, podemos cancelar o fator \sqrt{x+9}-3 (ou seja, usar a propriedade de cancelamento: se A(x)\neq0 então \frac{A(x)B(x)}{A(x)C(x)}=\frac{B(x)}{C(x)}). Após o cancelamento obtemos:
\frac{\sqrt{x+9}+3}{\sqrt{x+4}+2}.

Passo 4

Agora aplicamos propriedades de limite e continuidade: as funções \sqrt{\cdot} são contínuas para argumentos próximos dos valores aqui usados, e o limite do quociente é o quociente dos limites desde que o limite do denominador seja diferente de zero. Logo
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+9}+3}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{\lim_{x\to0}(\sqrt{x+9}+3)}{\lim_{x\to0}(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{\sqrt{0+9}+3}{\sqrt{0+4}+2} = \frac{3+3}{2+2} = \frac{6}{4}.
Simplificando a fração obtemos
\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Breve verificação alternativa (opcional): como começamos com forma \frac{0}{0}, poderia também aplicar a Regra de L’Hôpital (derivadas do numerador e denominador), que dá
\frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{x+4}-2)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x+9}-3)} = \frac{\tfrac{1}{2\sqrt{x+4}}}{\tfrac{1}{2\sqrt{x+9}}} = \frac{\sqrt{x+9}}{\sqrt{x+4}},
cujo limite quando x\to0 é \dfrac{3}{2}, confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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