Calcule os limites a seguir, explicitando as propriedades aritméticas do limite empregadas durante o processo.
\lim _{x \rightarrow 4}\left(\sqrt[3]{\frac{x^{2}+3 x-9}{2 x^{2}-x-1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to4}\sqrt[3]{\frac{x^{2}+3x-9}{2x^{2}-x-1}}
Isso envolve primeiro calcular o limite do quociente de polinômios e depois usar que a função f(u)=\sqrt[3]{u} é contínua, permitindo passar o limite para dentro da raiz.

Passo 2

Como soma, produto e quociente de polinômios são contínuos, temos
\lim_{x\to4}(x^{2}+3x-9) =\;4^{2}+3\cdot4-9 =\;16+12-9 =\;19
\lim_{x\to4}(2x^{2}-x-1) =\;2\cdot4^{2}-4-1 =\;2\cdot16-5 =\;32-5 =\;27

Passo 3

Pela propriedade de limite de quociente (denominador não nulo em x=4),
\lim_{x\to4}\frac{x^{2}+3x-9}{2x^{2}-x-1} =\frac{19}{27}.

Passo 4

Como a função u\mapsto\sqrt[3]{u} é contínua em \frac{19}{27}, aplicamos a propriedade de limite de composição:
\lim_{x\to4}\sqrt[3]{\frac{x^{2}+3x-9}{2x^{2}-x-1}} =\sqrt[3]{\lim_{x\to4}\frac{x^{2}+3x-9}{2x^{2}-x-1}} =\sqrt[3]{\frac{19}{27}}.

Resposta

\sqrt[3]{\frac{19}{27}} =\frac{\sqrt[3]{19}}{\sqrt[3]{27}} =\frac{\sqrt[3]{19}}{3}.

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