Questão 2. Calcule e indique (justificando) em cada caso o método ou resultado utilizado:
d) ( 1,0 ponto) \int \frac{1}{x^{2}\left(\sqrt{x^{2}+4}\right)} d x ?

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int \frac{1}{x^{2}\,\sqrt{x^{2}+4}}\,dx
e pede que calculemos e justifiquemos o método. Como temos \sqrt{x^{2}+a^{2}}, vamos usar a substituição trigonométrica
x = 2\tan\theta.

Passo 2

Com x = 2\tan\theta vem
dx = 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad \sqrt{x^{2}+4} = 2\operatorname{sec}\theta.
Substituindo no integrando:
\frac{dx}{x^{2}\,\sqrt{x^{2}+4}} = \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{(2\tan\theta)^{2}\,2\operatorname{sec}\theta} = \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta}{4\tan^{2}\theta\;2\operatorname{sec}\theta}\,d\theta = \frac{\operatorname{sec}\theta}{4\,\tan^{2}\theta}\,d\theta.

Passo 3

Note que
\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta} = \frac{1/\cos\theta}{\sin^{2}\theta/\cos^{2}\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta} = \cot\theta\,\csc\theta.
Então a integral passa a ser
\frac{1}{4}\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabemos que
\frac{d}{d\theta}\bigl(\csc\theta\bigr) = -\cot\theta\,\csc\theta,
portanto
\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta = -\csc\theta + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{4}\int \cot\theta\,\csc\theta\,d\theta = -\frac{1}{4}\,\csc\theta + C.

Passo 5

Volta à variável x: de \tan\theta = x/2 num triângulo retângulo segue \csc\theta = \sqrt{x^{2}+4}/x. Assim
-\frac{1}{4}\,\csc\theta + C = -\frac{1}{4}\,\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{x} + C.

Resposta

-\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{4x} + C.

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