e pergunta em quais valores de x ela é diferenciável. Para funções definidas por partes, sabemos que em cada ramo suave (linear ou polinomial) a função é diferenciável nos pontos interiores, restando verificar os pontos de troca de ramo x=-1 e x=1 conferindo continuidade e igualdade das derivadas laterais.
Passo 2
Nos intervals abertos de cada ramo:
Se x<-1, g(x)=-1-2x é função linear, logo diferenciável em todo esse intervalo.
Se -1<x<1, g(x)=x^2 é polinomial, logo diferenciável em todo esse intervalo.
Se x>1, g(x)=x é linear, logo diferenciável em todo esse intervalo.
Logo g é contínua em -1.
2. Derivadas laterais: \displaystyle g'(-1^-)=\frac{d}{dx}(-1-2x)\big|_{x=-1}=-2, \displaystyle g'(-1^+)=\frac{d}{dx}(x^2)\big|_{x=-1}=2\cdot(-1)=-2.
Como as duas derivadas coincidem, g é diferenciável em x=-1.
Então é contínua em 1.
2. Derivadas laterais: \displaystyle g'(1^-)=\frac{d}{dx}(x^2)\big|_{x=1}=2\cdot1=2, \displaystyle g'(1^+)=\frac{d}{dx}(x)\big|_{x=1}=1.
Como 2\neq1, não há derivada em x=1.
Resposta
g é diferenciável em todo \mathbb{R}\setminus\{1\}.