Em quais números as seguintes funções são diferenciáveis?
g(x)= \begin{cases}-1-2 x & \text { se } x<-1 \\\ x^{2} & \text { se }-1 \leq x \leq 1 \\\ x & \text { se } x>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x)= \begin{cases} -1-2x,&x<-1,\\\ x^2,&-1\le x\le1,\\\ x,&x>1, \end{cases}
e pergunta em quais valores de x ela é diferenciável. Para funções definidas por partes, sabemos que em cada ramo suave (linear ou polinomial) a função é diferenciável nos pontos interiores, restando verificar os pontos de troca de ramo x=-1 e x=1 conferindo continuidade e igualdade das derivadas laterais.

Passo 2

Nos intervals abertos de cada ramo:
  • Se x<-1, g(x)=-1-2x é função linear, logo diferenciável em todo esse intervalo.
  • Se -1<x<1, g(x)=x^2 é polinomial, logo diferenciável em todo esse intervalo.
  • Se x>1, g(x)=x é linear, logo diferenciável em todo esse intervalo.

Passo 3

Verificação em x=-1:
  1. Continuidade:
\lim_{x\to -1^-}g(x)=-1-2(-1)=1, \quad g(-1)=(-1)^2=1, \quad \lim_{x\to -1^+}g(x)=(-1)^2=1.
Logo g é contínua em -1.
2. Derivadas laterais:
\displaystyle g'(-1^-)=\frac{d}{dx}(-1-2x)\big|_{x=-1}=-2, \displaystyle g'(-1^+)=\frac{d}{dx}(x^2)\big|_{x=-1}=2\cdot(-1)=-2.
Como as duas derivadas coincidem, g é diferenciável em x=-1.

Passo 4

Verificação em x=1:
  1. Continuidade:
\lim_{x\to1^-}g(x)=1^2=1, \quad g(1)=1^2=1, \quad \lim_{x\to1^+}g(x)=1.
Então é contínua em 1.
2. Derivadas laterais:
\displaystyle g'(1^-)=\frac{d}{dx}(x^2)\big|_{x=1}=2\cdot1=2, \displaystyle g'(1^+)=\frac{d}{dx}(x)\big|_{x=1}=1.
Como 2\neq1, não há derivada em x=1.

Resposta

g é diferenciável em todo \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Exercícios relacionados