Usando a definição de limite de uma função, prove que:
\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}}\left(\frac{3 x^{2}-8 x-3}{x-3}\right)=\frac{5}{2}

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite de função, que
\lim_{x\to \tfrac12}\frac{3x^{2}-8x-3}{x-3}=\frac{5}{2}.
Isto significa: dado \varepsilon>0, precisamos encontrar \delta>0 tal que, sempre que
0<\bigl|x-\tfrac12\bigr|<\delta,
tenhamos
\left|\frac{3x^{2}-8x-3}{x-3}-\frac{5}{2}\right|<\varepsilon.

Passo 2

Vamos manipular a diferença
\left|\frac{3x^{2}-8x-3}{x-3}-\frac{5}{2}\right|
colocando tudo sobre o mesmo denominador.

Passo 3

Escrevendo em um só quociente,
\frac{3x^{2}-8x-3}{x-3}-\frac{5}{2} =\frac{2(3x^{2}-8x-3)-5(x-3)}{2(x-3)} =\frac{6x^{2}-16x-6-5x+15}{2(x-3)} =\frac{6x^{2}-21x+9}{2(x-3)}.
Note que
6x^{2}-21x+9 =3\bigl(2x^{2}-7x+3\bigr) =3(2x-1)(x-3).
Logo,
\left|\frac{3x^{2}-8x-3}{x-3}-\frac{5}{2}\right| =\frac{\bigl|3(2x-1)(x-3)\bigr|}{2\,|x-3|} =\frac{3\,|2x-1|}{2}.

Passo 4

Como |2x-1|=2\,|x-\tfrac12|, segue que
\left|\frac{3x^{2}-8x-3}{x-3}-\frac{5}{2}\right| =3\,\bigl|x-\tfrac12\bigr|.
Para assegurar que isso fique menor que \varepsilon, basta exigir
3\,\bigl|x-\tfrac12\bigr|<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl|x-\tfrac12\bigr|<\frac{\varepsilon}{3}.
Portanto, se tomarmos
\delta=\frac{\varepsilon}{3},
então 0<|x-\tfrac12|<\delta implica \bigl|\tfrac{3x^{2}-8x-3}{x-3}-\tfrac{5}{2}\bigr|<\varepsilon.

Resposta

Concluímos, pela definição de limite, que
\lim_{x\to \tfrac12}\frac{3x^{2}-8x-3}{x-3} =\frac{5}{2}.

Exercícios relacionados