Calcule os limites a seguir,
j) lim y -1 1-y^2y+raiz2+y

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limyto -1 1 - y^2y + raiz2 + y. O conteúdo aqui é análise de limites com indeterminação do tipo 0/0 e vamos precisar usar manipulação algébrica: fatorar o numerador e racionalizar o denominador.

Passo 2

Primeiro, faço a substituição direta para ver o tipo de indeterminação. Para y = -1 temos:
1 - y^2 = 1 - (-1)^2 = 0,
y + raiz2 + y = -1 + raiz2 - 1 = -1 + 1 = 0
Então é 0/0, indeterminado. Agora fatoro o numerador:
1 - y^2 = (1 - y)(1 + y)

Passo 3

Para eliminar a raiz no denominador, multiplico numerador e denominador pelo conjugado de y + raiz2 + y, que é y - raiz2 + y. Assim:
1 - y^2y + raiz2 + y cdot y - raiz2 + yy - raiz2 + y = (1 - y)(1 + y)(y - raiz2 + y)y^2 - (2 + y)

Passo 4

No denominador aparece
y^2 - (2 + y) = y^2 - y - 2 = (y + 1)(y - 2)

Passo 5

Então a fração vira
(1 - y)(1 + y)(y - raiz2 + y)(y + 1)(y - 2)

Passo 6

Corta-se o fator y + 1 (que não é zero quando y neq -1), restando
1 - yy - 2,(y - raiz2 + y)

Passo 7

Agora é seguro substituir y = -1 nessa expressão simplificada:
1 - y = 1 - (-1) = 2,
y - raiz2 + y = -1 - raiz1 = -2,
y - 2 = -1 - 2 = -3

Passo 8

Multiplicando e dividindo:
2 cdot (-2)-3 = -4-3 = 43

Resposta

tfrac43

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