Calcule os limites a seguir justificando as propriedades.
\lim _{x \rightarrow 2}\left(3 x^{2}+1\right)\left(x^{3}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to2}\bigl(3x^{2}+1\bigr)\bigl(x^{3}-1\bigr).
O conteúdo aqui é limite de funções polinomiais, e vamos usar as propriedades de limite (produto, soma, potência) junto com a continuidade dos polinômios.

Passo 2

Pela propriedade do limite do produto, se f e g têm limites em a, então
\lim_{x\to a}\bigl[f(x)\,g(x)\bigr] =\Bigl(\lim_{x\to a}f(x)\Bigr)\,\Bigl(\lim_{x\to a}g(x)\Bigr).

Passo 3

Como polinômios são funções contínuas em todo lugar, podemos calcular cada limite por substituição direta: \displaystyle \lim_{x\to2}(3x^{2}+1) =3\cdot2^{2}+1=12+1=13.

Passo 4

De modo análogo, \displaystyle \lim_{x\to2}(x^{3}-1) =2^{3}-1=8-1=7.

Passo 5

Portanto, aplicando a propriedade do produto,
\lim_{x\to2}\bigl(3x^{2}+1\bigr)\bigl(x^{3}-1\bigr) =13\cdot7=91.

Resposta

91

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