Calcule os limites a seguir justificando as propriedades.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{6 x^{2}-3 x+1}{x^{2}-2 x+5}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to 1} \frac{6x^{2} - 3x + 1}{x^{2} - 2x + 5}
e vamos usar o fato de que polinômios são funções contínuas e a propriedade do limite do quociente (desde que o limite do denominador não seja zero).

Passo 2

A função
x \mapsto x^{2} - 2x + 5
é um polinômio, logo contínua em x=1. Em particular, seu valor em x=1 é
1^{2} - 2\cdot1 + 5 = 4,
que é diferente de zero. Assim, podemos aplicar a propriedade
\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to1}f(x)}{\lim_{x\to1}g(x)},
desde que \lim_{x\to1}g(x)\neq0.

Passo 3

Calculamos o limite do numerador, sabendo que 6x^{2}-3x+1 é contínuo em x=1:
\lim_{x\to1}(6x^{2}-3x+1)=6\cdot1^{2}-3\cdot1+1=4.
Já verificamos em

Passo 4

\lim_{x\to1}(x^{2}-2x+5)=4.

Passo 5

Pela propriedade do quociente, temos
\lim_{x\to1}\frac{6x^{2}-3x+1}{x^{2}-2x+5} =\frac{\lim_{x\to1}(6x^{2}-3x+1)}{\lim_{x\to1}(x^{2}-2x+5)} =\frac{4}{4}=1.

Resposta

1

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