Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{2 x^{4}-6 x^{3}+x^{2}+3}{x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\frac{2x^{4}-6x^{3}+x^{2}+3}{x-1}
Esse tipo de limite cai na forma indeterminada \tfrac{0}{0}, então vamos usar fatoração polinomial (divisão por x-1) para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Verificamos a indeterminação substituindo x=1 no numerador:
2\cdot1^{4}-6\cdot1^{3}+1^{2}+3 = 2-6+1+3 = 0,
e o denominador 1-1=0. Logo é \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Aplicamos divisão sintética do polinômio 2x^{4}-6x^{3}+x^{2}+0x+3 por x-1. Com coeficientes (2,\,-6,\,1,\,0,\,3) e raiz 1, obtemos como quociente
2x^{3}-4x^{2}-3x-3
e resto 0. Assim
\frac{2x^{4}-6x^{3}+x^{2}+3}{x-1} =2x^{3}-4x^{2}-3x-3\quad(x\neq1).

Passo 4

Agora o limite não é mais indeterminado, basta substituir x=1 na expressão reduzida:
2\cdot1^{3}-4\cdot1^{2}-3\cdot1-3 =2-4-3-3=-8.

Resposta

O limite é -8.

Exercícios relacionados