Calcule os limites a seguir:
(k) lim x 1^- x^3-1(x-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda da função . Isso envolve o estudo de limites na matemática, especificamente usando técnicas de fatoração e análise de comportamento das funções próximas ao ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) . Sabemos que isso pode ser fatorado usando a diferença de cubos:

Passo 3

Substituindo essa fatoração na nossa expressão original, temos:
x^3 - 1(x - 1)^2 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 1)^2

Passo 4

Agora, simplificamos a fração cancelando um (x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 1)^2 = x^2 + x + 1x - 1 do numerador e do denominador:

Passo 5

Vamos analisar o comportamento dessa nova expressão conforme x^2 + x + 1 = 1^2 + 1 + 1 = 3 se aproxima de 1 pela esquerda (ou seja, valores menores que 1). Substituindo no numerador:
No denominador, se aproxima de 0 por valores negativos, já que .

Passo 6

Portanto, a expressão se torna:
3número muito pequeno e negativo ú
Quando dividimos um número positivo por um número que está se aproximando de zero pela esquerda (negativo), o resultado tende a menos infinito.

Resposta

O limite é .

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