Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
sumn=1^infty (-1)^n 5^4 n+1n^3 n

Passo 1

Beleza, então a gente tem que classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries numéricas, como o teste da razão e a convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Aqui, temos um termo alternado por causa de , então podemos pensar em usar o teste da série alternada. Mas antes, vamos verificar a convergência absoluta, que é mais forte.

Passo 3

Para verificar a convergência absoluta, ignoramos o sinal alternado e analisamos a série . Vamos aplicar o teste da raiz, que é útil quando temos potências com .

Passo 4

Aplicando o teste da raiz, calculamos:
L = limn to infty raiz[n]| 5^4 n+1n^3 n | = limn to infty 5^4 + 1nn^3 = 5^4n^3 quando n to infty
Note que para grande.

Passo 5

Agora, observamos que limn to infty 5^4n^3 = 0 cresce mais rápido que qualquer constante quando tende ao infinito. Portanto:
Como , pelo teste da raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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