Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que classificar a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries numéricas, como o teste da razão e a convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: . Aqui, temos um termo alternado por causa de , então podemos pensar em usar o teste da série alternada. Mas antes, vamos verificar a convergência absoluta, que é mais forte.
Passo 3
Para verificar a convergência absoluta, ignoramos o sinal alternado e analisamos a série . Vamos aplicar o teste da raiz, que é útil quando temos potências com .
Passo 4
Aplicando o teste da raiz, calculamos:
Note que para grande.
Passo 5
Agora, observamos que limn to infty 5^4n^3 = 0 cresce mais rápido que qualquer constante quando tende ao infinito. Portanto:
Como , pelo teste da raiz, a série converge absolutamente.