Calcule partial wpartial x e partial wpartial y nos seguintes casos:
(b) w=ln (t^2+s^2) ; t=x^3+y^2 e s=3 x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e . O que isso significa? Básicamente, queremos saber como muda quando a gente varia só o ou só o , mantendo o outro constante. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica super útil quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que temos:
w = ln (t^2 + s^2)
onde,
t = x^3 + y^2
s = 3xy
Então, depende de e , que por sua vez dependem de e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial x = 1t^2 + s^2 ( 2t partial tpartial x + 2s partial spartial x ) em relação a , ou seja, . Pela regra da cadeia, temos:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar partial tpartial x = partialpartial x (x^3 + y^2) = 3x^2 + 0 = 3x^2 e partial spartial x = partialpartial x (3xy) = 3y :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão da partial wpartial x = 1t^2 + s^2 ( 2t cdot 3x^2 + 2s cdot 3y ) :
partial wpartial x = 6x^2t + 6syt^2 + s^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial y = 1t^2 + s^2 ( 2t partial tpartial y + 2s partial spartial y ) em relação a , ou seja, :

Passo 7

Vamos encontrar partial tpartial y = partialpartial y (x^3 + y^2) = 0 + 2y = 2y e partial spartial y = partialpartial y (3xy) = 3x :

Passo 8

Substituindo essas derivadas na expressão da partial wpartial y = 1t^2 + s^2 ( 2t cdot 2y + 2s cdot 3x ) :
partial wpartial y = 4yt + 6sxt^2 + s^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial x = 6x^2t + 6syt^2 + s^2
partial wpartial y = 4yt + 6sxt^2 + s^2

Exercícios relacionados