Calcule os limites a seguir:
L=lim x 2(x^3-4 x^2+x+64 x-8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções polinomiais. A questão pede para calcular:
L = limx 2(x^3-4 x^2+x+64 x-8)
Para fazer isso, vamos precisar usar conhecimentos de limites e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 2 diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite de forma simples.
Substituindo:
Numerador = 2^3 - 4 times 2^2 + 2 + 6 = 8 - 16 + 2 + 6 = 0
Denominador = 4 times 2 - 8 = 8 - 8 = 0
Obtemos 00 , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como 00 , uma técnica útil é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos iguais. Vamos começar factorando o numerador x^3 - 4x^2 + x + 6 .
Para fatorar um polinômio de grau 3, podemos usar o Teorema do Racional Zero, que sugere que as raízes possíveis são os divisores do termo constante sobre os divisores do coeficiente líder. Neste caso, as possíveis raízes são pm1, pm2, pm3, pm6 .
Vamos testar x = 2 :
2^3 - 4 times 2^2 + 2 + 6 = 8 - 16 + 2 + 6 = 0
Como substituindo x = 2 o polinômio dá zero, sabemos que (x - 2) é um fator.

Passo 4

Agora, vamos dividir o polinômio x^3 - 4x^2 + x + 6 por (x - 2) para encontrar os outros fatores.
Usando a divisão polinomial ou a divisão sintética, encontramos:
x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x - 2)(x^2 - 2x - 3)
Agora, podemos fatorar mais x^2 - 2x - 3 :
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
Portanto, o numerador fatorado fica:
x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x - 2)(x - 3)(x + 1)

Passo 5

Agora, vamos reescrever a expressão original com o numerador fatorado:
x^3 - 4x^2 + x + 64x - 8 = (x - 2)(x - 3)(x + 1)4(x - 2)
Observamos que o fator (x - 2) aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-los:
(x - 2)cancel(x - 3)(x + 1)4cancel(x - 2) = (x - 3)(x + 1)4

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo x = 2 :
L = limx 2 (2 - 3)(2 + 1)4 = (-1)(3)4 = -34

Resposta

L = -34

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