Calcule os limites a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções polinomiais. A questão pede para calcular:
Para fazer isso, vamos precisar usar conhecimentos de limites e fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite de forma simples.
Substituindo:
Obtemos
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada como
, uma técnica útil é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos iguais. Vamos começar factorando o numerador
.
Para fatorar um polinômio de grau 3, podemos usar o Teorema do Racional Zero, que sugere que as raízes possíveis são os divisores do termo constante sobre os divisores do coeficiente líder. Neste caso, as possíveis raízes são
.
Vamos testar
:
Como substituindo
o polinômio dá zero, sabemos que
é um fator.
Passo 4
Agora, vamos dividir o polinômio
por
para encontrar os outros fatores.
Usando a divisão polinomial ou a divisão sintética, encontramos:
Agora, podemos fatorar mais
:
Portanto, o numerador fatorado fica:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a expressão original com o numerador fatorado:
Observamos que o fator
aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-los:
Passo 6
Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo
: