Questão:
Determine a massa e o centro de massa do sólido S delimitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e pelo plano x+y+z=2, sendo que S tem densidade constante rho. (Lembrando que barx=integral triplam x rho d V, bary=integral triplam nu d Vm e barz=integral triplam z rho d V.)

Passo 1

O enunciado pede a massa m e o centro de massa (bar x,bar y,bar z) do tetraedro S no primeiro octante, limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z=2, com densidade constante rho. Vamos usar tripla integral em coordenadas cartesianas:
m=integral triplaSrho,dV e
bar x=1mintegral triplaSx,rho,dV (e análogas para bar y, bar z).

Passo 2

Calcular m=rhointegral triplaSdV. Como em coordenadas cartesianas os limites são
0<= x<=2, 0<= y<=2-x, 0<= z<=2-x-y,
temos
integral triplaSdV &=integralx=0^2integraly=0^2-xintegralz=0^2-x-y1,dz,dy,dx &=integral0^2integral0^2-x(2-x-y),dy,dx =integral0^2(2-x)^22,dx =12l[!4x-2x^2+tfracx^33r]0^2 =43
Portanto
m=rhocdot43

Passo 3

Calcular o momento em x:
integral triplaSx,dV =integral0^2integral0^2-xintegral0^2-x-yx,dz,dy,dx =integral0^2integral0^2-xx,(2-x-y),dy,dx =integral0^2x(2-x)^22,dx =23
Logo
bar x =1m,rho!!!integral triplaSx,dV =rho,(2/3)rho,(4/3) =12

Passo 4

O tetraedro é simétrico em x,y,z, logo
bar y=bar z=bar x=tfrac12.

Resposta

massa: m=43,rho
centro de massa: l(bar x,bar y,bar zr)=l(tfrac12,tfrac12,tfrac12r)

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