Calcule os limites a seguir:
L=lim x 0(3^x+2 xln (x+e))

Passo 1

O enunciado pede o limite
L = limxto03^x+2xln(x+e)
O conteúdo aqui é cálculo de limites envolvendo expressões que tendem a valores finitos, de modo que podemos usar expansões em série de Taylor em torno de x=0 para aproximar numerador e denominador até ordem x.

Passo 2

Expandimos o numerador usando
3^x = e^xln 3 = 1 + xln 3 + o(x),
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3^x + 2x = 1 + xln 3 + 2x + o(x) = 1 + x(ln 3 + 2) + o(x)

Passo 3

Expandimos o denominador usando
ln(x+e) = ln!l(e(1 + tfracxe)r) = ln e + ln!l(1 + tfracxer) = 1 + xe + o(x)

Passo 4

Agora formamos a razão
3^x+2xln(x+e) = 1 + x(ln3+2) + o(x)1 + xe + o(x)
e, para xto0, usa-se
1 + A x + o(x)1 + B x + o(x) to 1
Portanto o limite é 1.

Resposta

1

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