Calcule os limites a seguir.
\lim _{(x, y) \rightarrow(-3,-5)} \frac{25 x^{2}-30 x y+9 y^{2}}{10 x-6 y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(-3,-5)} \frac{25x^{2} -30xy +9y^{2}}{10x -6y}.
Trata-se de limite de função de duas variáveis. Ao substituir diretamente, obtemos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}, então vamos usar fatoração para simplificar.

Passo 2

Avaliação direta em (x,y)=(-3,-5):
10x -6y = 10(-3) - 6(-5) = -30 + 30 = 0
e
25x^{2} - 30xy + 9y^{2} = 25\cdot9 - 30\cdot(-3)\cdot(-5) + 9\cdot25 = 225 - 450 + 225 = 0.
Logo temos \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Observamos que o numerador é um quadrado perfeito:
25x^{2} -30xy +9y^{2} = (5x - 3y)^{2}.

Passo 4

O denominador também fatoriza:
10x -6y = 2\,(5x - 3y).
Para (x,y)\neq\{5x=3y\} próximos de (-3,-5), a fração simplifica-se:
\frac{25x^{2} -30xy +9y^{2}}{10x -6y} = \frac{(5x-3y)^{2}}{2\,(5x-3y)} = \frac{5x-3y}{2}.

Passo 5

A função \tfrac{5x-3y}{2} é contínua em (-3,-5). Assim,
\lim_{(x,y)\to(-3,-5)} \frac{25x^{2}-30xy+9y^{2}}{10x-6y} = \frac{5(-3) - 3(-5)}{2} = \frac{-15 +15}{2} = 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados