Para
F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) e
G\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) funções de
n variáveis, tenhamos em mente os teoremas:
(I) Se
F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a 0 quando
\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a um ponto
P, e
G é uma função limitada, então
\lim _{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow P} F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \cdot G\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0
( II ) [Limite Fundamental da Trigonometria] Se
F\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a 0 quando
\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) tende a um ponto
P, então
\lim _{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \rightarrow P} \frac{\operatorname{sen}\left[F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right]}{F\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}=1
( III ) [Regra de L’Hospital] Se, quando
t tende a algum valor
a, tivermos
f(t) \rightarrow 0 \mathrm{e}
g(t) \rightarrow 0, ou tivermos
f(x) \rightarrow \infty e
g(x) \rightarrow \infty (indiferente se é
+\infty ou
-\infty ), então é verdade que
\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)}{g(t)}=\lim _{t \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(t)}{g^{\prime}(t)}
Logo na sequência, calcule os limites indicados, acusando se você usou os teoremas ( I ), ( II ) ou ( III ). Se necessário, faça alguma substituição com as variáveis por outra, tomando o cuidado de expressar para que valor a nova variável estará tendendo.
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)} x^{2} \frac{\operatorname{sen}(2 y-x)}{2 y-x}