Calcule os limites a seguir.
\lim _{(x, y) \rightarrow(9,3)} \frac{9 y^{2}-x^{2}}{3 y-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{(x,y)\to(9,3)} \frac{9y^{2} - x^{2}}{3y - x}.
Vamos usar propriedades de limite de funções de duas variáveis e simplificar a expressão por fatoração.

Passo 2

Substituindo diretamente x=9 e y=3 obtemos
\frac{9\cdot3^{2} - 9^{2}}{3\cdot3 - 9} = \frac{81 - 81}{9 - 9} = \frac{0}{0},
forma indeterminada, o que indica a necessidade de simplificar algebricamente.

Passo 3

Fatoramos a diferença de quadrados no numerador:
9y^{2} - x^{2} = (3y)^{2} - x^{2} = (3y - x)(3y + x).
Assim, para 3y \neq x,
\frac{9y^{2} - x^{2}}{3y - x} = \frac{(3y - x)(3y + x)}{3y - x} = 3y + x.

Passo 4

A função 3y + x é contínua em todo \mathbb{R}^{2}, logo podemos avaliar o limite substituindo (x,y)=(9,3):
\lim_{(x,y)\to(9,3)} (3y + x) = 3\cdot3 + 9 = 18.

Resposta

18

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