Calcule os limites a seguir.
\lim _{(x, y, z, w) \rightarrow(-5,0,2-2)} \frac{z}{y+4} \operatorname{sen}\left[(w-x) \frac{\pi}{2}\right]

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de quatro variáveis
f(x,y,z,w)=\frac{z}{y+4}\,\operatorname{sen}\!\bigl[(w-x)\tfrac\pi2\bigr]
quando (x,y,z,w)\to(-5,0,2,-2). O conteúdo é limite em várias variáveis e usaremos o fato de que quocientes e a função seno são contínuos sempre que o denominador não zera.

Passo 2

Verificamos que em (x,y,z,w)=(-5,0,2,-2) o denominador y+4 vale
0+4=4\neq0,
logo não há problema de divisão por zero. A composição de funções contínuas (razão, seno e operações lineares) é contínua nesse ponto, então o limite é obtido por substituição direta.

Passo 3

Substituímos z e y no quociente:
\frac{z}{y+4}\;\longrightarrow\;\frac{2}{0+4}=\frac{2}{4}=\frac12.

Passo 4

Substituímos w e x na parte do seno:
w-x = -2 - (-5) = 3,
portanto
\operatorname{sen}\!\bigl[(w-x)\tfrac\pi2\bigr] =\operatorname{sen}\!\bigl(3\tfrac\pi2\bigr) =\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{3\pi}2\bigr)=-1.

Passo 5

Multiplicando os dois resultados:
\frac12 \times (-1) = -\frac12.

Resposta

-\frac12

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