Calcule os limites a seguir
\lim _{x \rightarrow-1} \sqrt{x^{2}-\frac{1}{4}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to-1}\sqrt{x^{2}-\tfrac{1}{4}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\sqrt{x^{2}-\tfrac{1}{4}}.
  • O ponto de interesse é x\to-1.
  • É necessário verificar se a expressão faz sentido (domínio) em torno de x=-1 e então encontrar o limite.

Passo 2

Verificar o valor do radicando em x=-1. Substituir diretamente para ver se a expressão está definida no ponto:
(-1)^{2}-\tfrac{1}{4}=1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
Como \tfrac{3}{4}>0, a raiz quadrada está bem definida em x=-1.

Passo 3

Explicar por que podemos substituir diretamente no limite (continuidade). Passo a passo didático:
  • A função g(x)=x^{2} é um polinômio, logo é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função h(x)=g(x)-\tfrac{1}{4}=x^{2}-\tfrac{1}{4} é soma/subtração de funções contínuas, portanto contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função raiz quadrada \sqrt{\cdot} é contínua no intervalo (0,\infty) (e também em quaisquer intervalos [a,\infty) com a>0).
  • Como h(-1)=\tfrac{3}{4}>0, existe um intervalo ao redor de -1 onde h(x)>0. Nessa vizinhança, a composição \sqrt{h(x)}=\sqrt{x^{2}-\tfrac{1}{4}} é composição de funções contínuas, logo é contínua.
  • Para uma função contínua no ponto, o limite quando x\to esse ponto é igual ao valor da função no ponto.

Passo 4

Aplicar a propriedade da continuidade: o limite é o valor da função em -1. Então
\lim_{x\to-1}\sqrt{x^{2}-\tfrac{1}{4}}=\sqrt{(-1)^{2}-\tfrac{1}{4}}=\sqrt{\tfrac{3}{4}}.

Passo 5

Calcular a raiz de \tfrac{3}{4} de forma simplificada:
\sqrt{\tfrac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

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