Calcule os limites a seguir
\lim _{x \rightarrow 6} \frac{x^{2}+x-30}{\sqrt{6 x}-x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 6}\frac{x^{2}+x-30}{\sqrt{6x}-x}.
Informações fornecidas (diretas do enunciado):
  • A expressão é \dfrac{x^{2}+x-30}{\sqrt{6x}-x}.
  • O ponto de interesse é x=6.
  • Note que a raiz quadrada \sqrt{6x} está definida para x\ge 0, logo aproximar x de 6 é válido tanto pela esquerda quanto pela direita dentro do domínio (valores próximos a 6 positivos).

Passo 2

Teste de substituição direta (sempre é o primeiro teste que fazemos): calcule numerador e denominador em x=6.
\text{Numerador: }6^{2}+6-30=36+6-30=12.
\text{Denominador: }\sqrt{6\cdot 6}-6=\sqrt{36}-6=6-6=0.
Como a substituição direta dá \dfrac{12}{0}, não temos um valor finito imediato: pode ser que o limite seja infinito ou que o limite não exista. Para entender melhor o comportamento perto de 6 precisamos analisar a expressão com mais cuidado (tentar simplificar ou estudar os sinais).

Passo 3

Uma técnica útil quando aparece um denominador com uma raiz é racionalizar multiplicando por conjugado. Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{6x}+x:
\frac{x^{2}+x-30}{\sqrt{6x}-x}\cdot\frac{\sqrt{6x}+x}{\sqrt{6x}+x} = \frac{(x^{2}+x-30)\,(\sqrt{6x}+x)}{(\sqrt{6x}-x)(\sqrt{6x}+x)}.
No denominador o produto dá diferença de quadrados:
(\sqrt{6x}-x)(\sqrt{6x}+x)=6x-x^{2}=x(6-x).
Portanto a expressão é equivalente (para x onde tudo faz sentido) a
\frac{(x^{2}+x-30)\,(\sqrt{6x}+x)}{x(6-x)}.

Passo 4

Fatoramos o polinômio do numerador para ver sua estrutura:
x^{2}+x-30=(x-5)(x+6).
Substituindo:
\frac{(x-5)(x+6)\,(\sqrt{6x}+x)}{x(6-x)}.
Observação: nenhum fator (x-6) cancela — isso confirma que o problema na substituição veio da presença de 6-x no denominador, não de um cancelamento com o numerador. Assim o comportamento ao aproximar x de 6 será determinado por como o denominador se aproxima de zero e pelo sinal das outras partes.

Passo 5

Avaliação do sinal e do comportamento nas duas direções (importante para limites que tendem a infinito).
Para x próximo de 6 (mas não igual):
  • Os fatores (x-5), (x+6) e \sqrt{6x}+x são positivos (pois x está perto de 6>0).
  • O fator x no denominador também é positivo (próximo de 6).
  • O fator 6-x é a parte que muda de sinal quando cruzamos x=6:
    • Se x<6 então 6-x>0 e o denominador x(6-x)>0.
    • Se x>6 então 6-x<0 e o denominador x(6-x)<0.
Como o numerador é positivo perto de 6 (vale aproximadamente (6-5)(6+6)(6+6)=1\cdot12\cdot12=144 quando x está muito próximo de 6), o sinal da fração é o mesmo do sinal de 1/(6-x). Além disso, à medida que x se aproxima de 6, o denominador tende a zero e o valor absoluto da fração tende a infinito.
Portanto:
  • Para x\to 6^{-} (chegando por valores menores que 6) temos denomínio pequeno e positivo, então a fração tende para +\infty.
  • Para x\to 6^{+} (chegando por valores maiores que 6) temos denomínio pequeno e negativo, então a fração tende para -\infty.

Passo 6

Conclusão sobre o limite bilateral: como as duas limites laterais são diferentes (um é +\infty e o outro é -\infty), o limite bilateral \lim_{x\to 6} não existe como número finito — a expressão diverge, com sinais opostos conforme o lado de aproximação.

Resposta

Não existe; \displaystyle \lim_{x\to 6^-}\frac{x^{2}+x-30}{\sqrt{6x}-x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 6^+}\frac{x^{2}+x-30}{\sqrt{6x}-x}=-\infty

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