Calcule os limites a seguir
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações fornecidas (diretas do enunciado):
- A expressão é
. - O ponto de interesse é
. - Note que a raiz quadrada
está definida para , logo aproximar de é válido tanto pela esquerda quanto pela direita dentro do domínio (valores próximos a positivos).
Passo 2
Teste de substituição direta (sempre é o primeiro teste que fazemos): calcule numerador e denominador em
.
Como a substituição direta dá
, não temos um valor finito imediato: pode ser que o limite seja infinito ou que o limite não exista. Para entender melhor o comportamento perto de
precisamos analisar a expressão com mais cuidado (tentar simplificar ou estudar os sinais).
Passo 3
Uma técnica útil quando aparece um denominador com uma raiz é racionalizar multiplicando por conjugado. Multiplicamos numerador e denominador por
:
No denominador o produto dá diferença de quadrados:
Portanto a expressão é equivalente (para
onde tudo faz sentido) a
Passo 4
Fatoramos o polinômio do numerador para ver sua estrutura:
Substituindo:
Observação: nenhum fator
cancela — isso confirma que o problema na substituição veio da presença de
no denominador, não de um cancelamento com o numerador. Assim o comportamento ao aproximar
de
será determinado por como o denominador se aproxima de zero e pelo sinal das outras partes.
Passo 5
Avaliação do sinal e do comportamento nas duas direções (importante para limites que tendem a infinito).
Para
próximo de
(mas não igual):
- Os fatores
, e são positivos (pois está perto de ). - O fator
no denominador também é positivo (próximo de ). - O fator
é a parte que muda de sinal quando cruzamos : - Se
então e o denominador . - Se
então e o denominador .
- Se
Como o numerador é positivo perto de
(vale aproximadamente
quando
está muito próximo de
), o sinal da fração é o mesmo do sinal de
. Além disso, à medida que
se aproxima de
, o denominador tende a zero e o valor absoluto da fração tende a infinito.
Portanto:
- Para
(chegando por valores menores que ) temos denomínio pequeno e positivo, então a fração tende para . - Para
(chegando por valores maiores que ) temos denomínio pequeno e negativo, então a fração tende para .
Passo 6
Conclusão sobre o limite bilateral: como as duas limites laterais são diferentes (um é
e o outro é
), o limite bilateral
não existe como número finito — a expressão diverge, com sinais opostos conforme o lado de aproximação.
Resposta
Não existe;