Calcule os limites a seguir:
, onde
Passo 1
O enunciado pede calcular
, onde
Informações relevantes que temos:
- A função é um vetor com três componentes; é preciso calcular o limite de cada componente quando
. - A variável que tende é
e o ponto de interesse é .
A resolução segue calculando separadamente o limite de cada componente e, por fim, reunindo-os no vetor limite.
Passo 2
Cálculo da primeira componente
.
Estratégia: usar a função exponencial e o logaritmo para transformar a expressão numa forma cujo limite do expoente podemos avaliar. Lembrar do fato padrão:
ou seja,
quando
.
Aplicando isso, escrevemos
Agora avaliaremos o limite do expoente. Usando
na igualdade acima:
Como
para
, temos
Portanto
e pela continuidade da exponencial
Passo 3
Cálculo da segunda componente
.
Usamos o limite trigonométrico padrão
Escrevemos
Tomando limite e lembrando que, pondo
, tem-se
, obtemos
Passo 4
Cálculo da terceira componente
.
Aqui podemos usar a fatoração de diferença de potências:
Dividindo por
(para
) obtemos a soma geométrica
A soma do lado direito é um polinômio em
(portanto contínuo), logo basta substituir
:
Observação alternativa rápida: para
a expressão vale
, que coincide com o limite.
Passo 5
Juntando os resultados das três componentes, o limite do vetor
quando
é o vetor formado pelos limites obtidos.