Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0} f(x), onde f(x)=\left((1+2 x)^{3 x}, \frac{\sin 2 x}{3 x}, \frac{x^{100}-1}{x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{x\to 0} f(x), onde
f(x)=\left((1+2x)^{3x},\;\frac{\sin 2x}{3x},\;\frac{x^{100}-1}{x-1}\right).
Informações relevantes que temos:
  • A função é um vetor com três componentes; é preciso calcular o limite de cada componente quando x\to 0.
  • A variável que tende é x e o ponto de interesse é x=0.
    A resolução segue calculando separadamente o limite de cada componente e, por fim, reunindo-os no vetor limite.

Passo 2

Cálculo da primeira componente \displaystyle (1+2x)^{3x}.
Estratégia: usar a função exponencial e o logaritmo para transformar a expressão numa forma cujo limite do expoente podemos avaliar. Lembrar do fato padrão:
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1,
ou seja, \ln(1+u)\sim u quando u\to 0.
Aplicando isso, escrevemos
(1+2x)^{3x}=\exp\big(3x\ln(1+2x)\big).
Agora avaliaremos o limite do expoente. Usando u=2x na igualdade acima:
\lim_{x\to 0}3x\ln(1+2x)=3\lim_{x\to 0} x\cdot\ln(1+2x).
Como \ln(1+2x)\sim 2x para x\to 0, temos
x\ln(1+2x)\sim x\cdot 2x=2x^{2}\longrightarrow 0.
Portanto
\lim_{x\to 0}3x\ln(1+2x)=0,
e pela continuidade da exponencial
\lim_{x\to 0}(1+2x)^{3x}=\exp(0)=1.

Passo 3

Cálculo da segunda componente \displaystyle \frac{\sin 2x}{3x}.
Usamos o limite trigonométrico padrão
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Escrevemos
\frac{\sin 2x}{3x}=\frac{\sin 2x}{2x}\cdot\frac{2}{3}.
Tomando limite e lembrando que, pondo t=2x, tem-se \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{2x}=1, obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{3x}=1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.

Passo 4

Cálculo da terceira componente \displaystyle \frac{x^{100}-1}{x-1}.
Aqui podemos usar a fatoração de diferença de potências:
x^{100}-1=(x-1)\big(1+x+x^{2}+\cdots+x^{99}\big).
Dividindo por x-1 (para x\neq 1) obtemos a soma geométrica
\frac{x^{100}-1}{x-1}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{99}.
A soma do lado direito é um polinômio em x (portanto contínuo), logo basta substituir x=0:
\lim_{x\to 0}\frac{x^{100}-1}{x-1}=1+0+0+\cdots+0=1.
Observação alternativa rápida: para x=0 a expressão vale \dfrac{0^{100}-1}{0-1}=\dfrac{-1}{-1}=1, que coincide com o limite.

Passo 5

Juntando os resultados das três componentes, o limite do vetor f(x) quando x\to 0 é o vetor formado pelos limites obtidos.

Resposta

\left(1,\dfrac{2}{3},1\right)

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