Calcule os limites a seguir:
lim t 0 sen(at)sen(bt), b neq 0

Passo 1

Então, a gente tem aqui um limite para calcular: , onde . Esse problema está ligado ao estudo de limites em funções trigonométricas, especificamente o seno. Para resolver, vamos precisar lembrar umas propriedades básicas de limites e como o seno se comporta quando o ângulo está próximo de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando se aproxima de 0, é aproximadamente igual a . Isso é uma aproximação útil e vem da série de Taylor para o seno. Ou seja, para muito pequeno.

Passo 3

Usando essa aproximação, podemos substituir por sen(a t)sen(b t) approx a tb t e por quando se aproxima de 0. Então, nossa expressão fica:

Passo 4

Agora, vemos que o termo a tb t = ab no numerador e no denominador se cancelam. Ficando:

Passo 5

Como não temos mais na expressão, o limite quando vai para 0 é simplesmente .

Resposta

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