Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 0}\left(1+\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}.
Informações que o enunciado nos dá:
  • A variável é x e tende para 0.
  • A expressão é uma potência cujo expoente \frac{1}{x} tende para \infty quando x\to 0.
  • A base 1+\frac{x}{2} tende para 1 quando x\to 0.
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo 1^{\infty}.

Passo 2

Estratégia: para limites com indeterminação 1^{\infty} é comum fazer a transformação logarítmica: se definirmos
y=\left(1+\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x}},
então podemos estudar \ln y porque a função exponencial é contínua. Explicando com calma: se \lim_{x\to0}\ln y = L existir (finito), então pela continuidade da exponencial vale \lim_{x\to0} y = e^{L}. Assim vamos calcular
\ln y=\frac{1}{x}\ln\!\left(1+\frac{x}{2}\right).

Passo 3

Calcular o limite de \ln y:
\lim_{x\to0}\ln y=\lim_{x\to0}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{x}{2}\right)}{x}.
Essa expressão tem a forma \dfrac{0}{0}, porque \ln(1+\tfrac{x}{2})\to0 e x\to0. Podemos avaliá-la aplicando a Regra de L’Hôpital ou usando a expansão em série de Taylor da função logaritmo. Vou mostrar as duas abordagens (escolha a que preferir durante a prova).

Passo 4

Abordagem 1 — Regra de L’Hôpital (explicada passo a passo):
  • A Regra de L’Hôpital diz que se \lim_{x\to0}f(x)=0 e \lim_{x\to0}g(x)=0 e as derivadas f' e g' existem em torno de 0 (exceto possivelmente em 0), então
\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite à direita exista.
  • Aqui f(x)=\ln\!\left(1+\dfrac{x}{2}\right) e g(x)=x. Calculando as derivadas:
f'(x)=\frac{1}{1+\tfrac{x}{2}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2\left(1+\tfrac{x}{2}\right)}, \qquad g'(x)=1.
  • Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to0}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{x}{2}\right)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{1}{2\left(1+\tfrac{x}{2}\right)} =\frac{1}{2}.

Passo 5

Abordagem 2 — Série de Taylor (intuição alternativa, também útil):
  • A expansão de Taylor do logaritmo perto de 0 é \ln(1+t)=t-\dfrac{t^{2}}{2}+O(t^{3}) quando t\to0.
  • Aqui t=\dfrac{x}{2}, então
\ln\!\left(1+\frac{x}{2}\right)=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+O(x^{3}).
  • Dividindo por x e passando ao limite:
\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{x}{2}\right)}{x}=\frac{1}{2}-\frac{x}{8}+O(x^{2})\xrightarrow[x\to0]{}\frac{1}{2}.
  • Ambas as abordagens dão o mesmo resultado:
\lim_{x\to0}\ln y=\frac{1}{2}.

Passo 6

Voltando para y: como \lim_{x\to0}\ln y=\dfrac{1}{2} e a exponencial é contínua, temos
\lim_{x\to0} y = \lim_{x\to0} e^{\ln y} = e^{\frac{1}{2}}.
Podemos também escrever e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}.

Resposta

e^{\tfrac{1}{2}}

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