A expressão é uma potência cujo expoente \frac{1}{x} tende para \infty quando x\to 0.
A base 1+\frac{x}{2} tende para 1 quando x\to 0.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo 1^{\infty}.
Passo 2
Estratégia: para limites com indeterminação 1^{\infty} é comum fazer a transformação logarítmica: se definirmos
y=\left(1+\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{x}},
então podemos estudar \ln y porque a função exponencial é contínua. Explicando com calma: se \lim_{x\to0}\ln y = L existir (finito), então pela continuidade da exponencial vale \lim_{x\to0} y = e^{L}. Assim vamos calcular
Essa expressão tem a forma \dfrac{0}{0}, porque \ln(1+\tfrac{x}{2})\to0 e x\to0. Podemos avaliá-la aplicando a Regra de L’Hôpital ou usando a expansão em série de Taylor da função logaritmo. Vou mostrar as duas abordagens (escolha a que preferir durante a prova).
Passo 4
Abordagem 1 — Regra de L’Hôpital (explicada passo a passo):
A Regra de L’Hôpital diz que se \lim_{x\to0}f(x)=0 e \lim_{x\to0}g(x)=0 e as derivadas f' e g' existem em torno de 0 (exceto possivelmente em 0), então