Calcule os limites a seguir
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão a ser considerada é
. - O ponto de interesse é
. - Ao substituir
diretamente, o numerador vale e o denominador vale , ou seja a expressão não está definida em .
Passo 2
Primeiro conceito importante (mini-aula): quando se faz a substituição e obtém uma forma
, isso indica comportamento infinito (o quociente tende a
ou
dependendo do sinal), ao contrário da forma
que é indeterminada e exige mais manipulação. Então aqui temos a forma
, que sinaliza que a função explode em módulo ao aproximar
; falta determinar o sinal (mais ou menos infinito).
Para entender o sinal do quociente perto de fazemos uma análise algébrica e de sinais. Primeiro fatoramos o denominador:
Para entender o sinal do quociente perto de
Observação sobre o numerador: para todo
vale
ou seja o numerador é sempre positivo. Portanto o sinal da fração é o mesmo do sinal de
.
Passo 3
Agora analisamos os dois limites laterais (mini-aula de limites laterais): devemos olhar o comportamento de
quando
se aproxima de
pela esquerda e pela direita.
- Se
então e, como sempre que , para próximo de mas menor que temos . O numerador é positivo e tende a , o denominador é positivo e tende a , logo o quociente tende para . Assim
- Se
então e, para próximo de mas maior que , tem-se . O numerador continua positivo e tende a , o denominador é negativo e tende a , logo o quociente tende para . Assim
Passo 4
Conclusão (mini-aula de interpretação final): como os limites laterais são diferentes (
à esquerda e
à direita), o limite bilateral
não existe (a função tem uma descontinuidade do tipo assíntota vertical em
).