Calcule os limites a seguir
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular
\lim_{x\to 1}\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão a ser considerada é \dfrac{1+x^{2}}{1-x^{2}}.
  • O ponto de interesse é x=1.
  • Ao substituir x=1 diretamente, o numerador vale 1+1^{2}=2 e o denominador vale 1-1^{2}=0, ou seja a expressão não está definida em x=1.

Passo 2

Primeiro conceito importante (mini-aula): quando se faz a substituição e obtém uma forma \dfrac{\text{constante}\neq0}{0}, isso indica comportamento infinito (o quociente tende a +\infty ou -\infty dependendo do sinal), ao contrário da forma \dfrac{0}{0} que é indeterminada e exige mais manipulação. Então aqui temos a forma \dfrac{2}{0}, que sinaliza que a função explode em módulo ao aproximar x\to1; falta determinar o sinal (mais ou menos infinito).
Para entender o sinal do quociente perto de x=1 fazemos uma análise algébrica e de sinais. Primeiro fatoramos o denominador:
1-x^{2}=-(x^{2}-1)=-(x-1)(x+1).
Observação sobre o numerador: para todo x\in\mathbb{R} vale
1+x^{2}>0,
ou seja o numerador é sempre positivo. Portanto o sinal da fração é o mesmo do sinal de 1-x^{2}.

Passo 3

Agora analisamos os dois limites laterais (mini-aula de limites laterais): devemos olhar o comportamento de 1-x^{2} quando x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita.
  • Se x\to1^{-} então x<1 e, como 1-x^{2}>0 sempre que |x|<1, para x próximo de 1 mas menor que 1 temos 1-x^{2}>0. O numerador é positivo e tende a 2, o denominador é positivo e tende a 0, logo o quociente tende para +\infty. Assim
\lim_{x\to1^{-}}\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}=+\infty.
  • Se x\to1^{+} então x>1 e, para x próximo de 1 mas maior que 1, tem-se 1-x^{2}<0. O numerador continua positivo e tende a 2, o denominador é negativo e tende a 0, logo o quociente tende para -\infty. Assim
\lim_{x\to1^{+}}\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}=-\infty.

Passo 4

Conclusão (mini-aula de interpretação final): como os limites laterais são diferentes ( +\infty à esquerda e -\infty à direita), o limite bilateral \lim_{x\to1}\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}} não existe (a função tem uma descontinuidade do tipo assíntota vertical em x=1).

Resposta

\lim_{x\to1^-}\dfrac{1+x^{2}}{1-x^{2}}=+\infty
\lim_{x\to1^+}\dfrac{1+x^{2}}{1-x^{2}}=-\infty
\lim_{x\to1}\dfrac{1+x^{2}}{1-x^{2}} não existe.

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