Calcule os limites a seguir
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 1} \frac{1}{x^{2}-1}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é a função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}-1}.
  • Quando x se aproxima de 1, o denominador x^{2}-1 tende a 0. Isso indica que o valor da função pode crescer em módulo (tender a infinito) ou não existir de forma finita.
  • Para decidir corretamente precisamos olhar o comportamento quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( x\to1^-) e pela direita ( x\to1^+).

Passo 2

Vamos fatorar o denominador para entender melhor o sinal e a ordem de grandeza perto de x=1.
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Explicando: a fatoração mostra dois fatores. Perto de x=1:
  • O fator (x+1) tende para 2 (positivo e não nulo).
  • O fator (x-1) tende para 0 e muda de sinal conforme x vem da esquerda ou da direita de 1.
Isso significa que o sinal do denominador próximo a 1 é determinado pelo sinal de (x-1), e o seu módulo é pequeno (porque |x-1| é pequeno). Portanto \dfrac{1}{x^{2}-1} tem módulo grande e sinal oposto ao sinal de (x-1) vezes o sinal de (x+1) (mas como (x+1)>0, o sinal final segue o de (x-1)).

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda ( x\to1^-). Uma forma objetiva é tomar x=1-h com h>0 e h\to0^+. Então
x^{2}-1=(1-h)^{2}-1=1-2h+h^{2}-1=-2h+h^{2}=-h(2-h).
Logo
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{-h(2-h)}=-\frac{1}{h(2-h)}.
À medida que h\to0^{+} temos h(2-h)\to 0^{+}, então -\dfrac{1}{h(2-h)}\to -\infty. Portanto
\lim_{x\to1^-}\frac{1}{x^{2}-1}=-\infty.

Passo 4

Calcular o limite pela direita ( x\to1^+). Tome x=1+h com h>0 pequeno. Então
x^{2}-1=(1+h)^{2}-1=1+2h+h^{2}-1=2h+h^{2}=h(2+h),
e
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{h(2+h)}.
À medida que h\to0^{+} temos h(2+h)\to0^{+}, então \dfrac{1}{h(2+h)}\to +\infty. Portanto
\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x^{2}-1}=+\infty.

Passo 5

Interpretação final: os limites laterais existem, mas são diferentes: o limite à esquerda é -\infty e o limite à direita é +\infty. Como os dois limites laterais não coincidem, o limite bilateral \lim_{x\to1}\dfrac{1}{x^{2}-1} não existe como número finito nem como único infinito. Em termos formais, dizemos que o limite não existe (ou diverge).

Resposta

\lim_{x\to1^-}\dfrac{1}{x^{2}-1}=-\infty
\lim_{x\to1^+}\dfrac{1}{x^{2}-1}=+\infty
\lim_{x\to1}\dfrac{1}{x^{2}-1} não existe.

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