Calcule os limites a seguir
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é a função
. - Quando
se aproxima de , o denominador tende a . Isso indica que o valor da função pode crescer em módulo (tender a infinito) ou não existir de forma finita. - Para decidir corretamente precisamos olhar o comportamento quando
se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
Passo 2
Vamos fatorar o denominador para entender melhor o sinal e a ordem de grandeza perto de
.
Explicando: a fatoração mostra dois fatores. Perto de
:
- O fator
tende para (positivo e não nulo). - O fator
tende para e muda de sinal conforme vem da esquerda ou da direita de .
Isso significa que o sinal do denominador próximo a
é determinado pelo sinal de
, e o seu módulo é pequeno (porque
é pequeno). Portanto
tem módulo grande e sinal oposto ao sinal de
vezes o sinal de
(mas como
, o sinal final segue o de
).
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda (
). Uma forma objetiva é tomar
com
e
. Então
Logo
À medida que
temos
, então
. Portanto
Passo 4
Calcular o limite pela direita (
). Tome
com
pequeno. Então
e
À medida que
temos
, então
. Portanto
Passo 5
Interpretação final: os limites laterais existem, mas são diferentes: o limite à esquerda é
e o limite à direita é
. Como os dois limites laterais não coincidem, o limite bilateral
não existe como número finito nem como único infinito. Em termos formais, dizemos que o limite não existe (ou diverge).