Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro do limite é
. - O ponto de interesse é
. - Não há outras condições ou restrições mencionadas.
Passo 2
Vamos lembrar e provar uma identidade trigonométrica útil: para quaisquer
e
vale
Essa é a fórmula do cosseno da diferença de dois ângulos. Nela:
-
é o cosseno da diferença; -
é o produto dos cossenos; -
é o produto dos senos.
Agora apliquei essa fórmula com
e
:
Como
e
, obtemos
Portanto a identidade de cofunção foi demonstrada:
Passo 3
Usando a identidade provada, a expressão dentro do limite fica, para todo
,
Ou seja, a função dentro dos colchetes é identicamente zero (não apenas quando
se aproxima de
, mas para todo
). Logo o limite é simplesmente
Observação alternativa (pela propriedade de continuidade, caso prefira ver assim): a função
é contínua, então
e
. Subtraindo esses limites obtém-se
, mesma conclusão.
Passo 4
Fica claro e confirmado que o valor do limite é
.