Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow \pi / 2}[\cos (\pi / 2-x)-\operatorname{sen}(x)]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to \pi/2}\big[\cos\big(\pi/2 - x\big)-\operatorname{sen}(x)\big].
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro do limite é \cos\big(\pi/2 - x\big)-\operatorname{sen}(x).
  • O ponto de interesse é x \to \pi/2.
  • Não há outras condições ou restrições mencionadas.

Passo 2

Vamos lembrar e provar uma identidade trigonométrica útil: para quaisquer A e B vale
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B.
Essa é a fórmula do cosseno da diferença de dois ângulos. Nela:
  • \cos(A-B) é o cosseno da diferença;
  • \cos A\cos B é o produto dos cossenos;
  • \sin A\sin B é o produto dos senos.
Agora apliquei essa fórmula com A=\pi/2 e B=x:
\cos\big(\pi/2 - x\big)=\cos\big(\pi/2\big)\cos x+\sin\big(\pi/2\big)\sin x.
Como \cos\big(\pi/2\big)=0 e \sin\big(\pi/2\big)=1, obtemos
\cos\big(\pi/2 - x\big)=0\cdot\cos x + 1\cdot\sin x=\sin x.
Portanto a identidade de cofunção foi demonstrada:
\cos\big(\pi/2 - x\big)=\sin x\quad\text{para todo }x.

Passo 3

Usando a identidade provada, a expressão dentro do limite fica, para todo x,
\cos\big(\pi/2 - x\big)-\operatorname{sen}(x)=\sin x-\sin x=0.
Ou seja, a função dentro dos colchetes é identicamente zero (não apenas quando x se aproxima de \pi/2, mas para todo x). Logo o limite é simplesmente
\lim_{x \to \pi/2} 0 = 0.
Observação alternativa (pela propriedade de continuidade, caso prefira ver assim): a função \cos é contínua, então
\lim_{x\to\pi/2}\cos\big(\pi/2-x\big)=\cos\big(\lim_{x\to\pi/2}(\pi/2-x)\big)=\cos 0=1,
e \lim_{x\to\pi/2}\operatorname{sen}(x)=\operatorname{sen}(\pi/2)=1. Subtraindo esses limites obtém-se 1-1=0, mesma conclusão.

Passo 4

Fica claro e confirmado que o valor do limite é 0.

Resposta

0

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