Calcule os limites a seguir
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt[3]{3 x^{2}}-3}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt[3]{3x^{2}}-3}{x}.
Informações dadas:
  • A expressão no numerador é \sqrt[3]{3x^{2}}-3.
  • O denominador é x.
  • A variável x tende para 3.
    A tarefa é encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Observação sobre continuidade (uma ideia que vou usar): funções polinomiais são contínuas em todo lugar e a função raiz cúbica t\mapsto \sqrt[3]{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R}. A composição de funções contínuas é contínua. Portanto a função
\displaystyle x\mapsto \sqrt[3]{3x^{2}}
é contínua em x=3. Assim pode-se calcular o limite da função por substituição direta.

Passo 3

Calcular o valor da função contínua no ponto x=3:
\displaystyle \sqrt[3]{3\cdot 3^{2}}=\sqrt[3]{3\cdot 9}=\sqrt[3]{27}=3.

Passo 4

Com isso, o numerador tende a
\displaystyle \sqrt[3]{3x^{2}}-3 \longrightarrow 3-3=0
quando x\to 3.

Passo 5

O denominador tende a
\displaystyle x\longrightarrow 3
quando x\to 3. Como o limite do denominador é 3\neq 0, podemos aplicar a regra do quociente de limites: se \lim f(x)=0 e \lim g(x)=L\neq 0, então \lim \dfrac{f(x)}{g(x)}=0.

Passo 6

Aplicando essa regra ao nosso caso, temos que
\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}\frac{\sqrt[3]{3x^{2}}-3}{x}=\frac{0}{3}=0.

Resposta

0

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