Exemplo:

Resolver o sistema de equações não lineares utilizando o método de Newton com \left(x_{0}, y_{0}\right)=(0.5,0.5) e \varepsilon=0,01.
\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}=1 \\\ x^{2}-y=0 \end{array}\right.

Passo 1

O problema pede resolver o sistema
\begin{cases} x^{2}+y^{2}=1,\\[4pt] x^{2}-y=0, \end{cases}
usando o método de Newton para sistemas, com condição inicial x_{0}=0,5, y_{0}=0,5 e tolerância \varepsilon=0,01.
Informações dadas:
  • As duas equações do sistema são x^{2}+y^{2}-1=0 e x^{2}-y=0.
  • O chute inicial é x_{0}=0,5 e y_{0}=0,5.
  • O critério de parada pedido é \varepsilon=0,01 (vamos interpretar isto como parar quando a norma euclidiana do incremento \Delta=(\Delta x,\Delta y) for menor que \varepsilon: \|\Delta\|_{2}<\varepsilon).]

Passo 2

Explicando o método (passo-a-passo didático):
  • Para métodos de Newton em sistemas, define-se o vetor função
F(x,y)=\begin{pmatrix}f_{1}(x,y)\\[4pt] f_{2}(x,y)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x^{2}+y^{2}-1\\[4pt] x^{2}-y\end{pmatrix}.
  • A cada iteração k resolve-se o sistema linear
J(x^{(k)},y^{(k)})\,\Delta^{(k)}=-F(x^{(k)},y^{(k)}),
onde \Delta^{(k)}=(\Delta x^{(k)},\Delta y^{(k)})^{T} e J é a matriz jacobiana de F:
J(x,y)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_{1}}{\partial x} & \dfrac{\partial f_{1}}{\partial y}\\[8pt] \dfrac{\partial f_{2}}{\partial x} & \dfrac{\partial f_{2}}{\partial y} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2x & 2y\\[4pt] 2x & -1 \end{pmatrix}.
  • Depois de obter \Delta^{(k)} atualiza-se
x^{(k+1)}=x^{(k)}+\Delta x^{(k)},\qquad y^{(k+1)}=y^{(k)}+\Delta y^{(k)}.
  • Critério de parada usado aqui: parar quando \|\Delta^{(k)}\|_{2}=\sqrt{(\Delta x^{(k)})^{2}+(\Delta y^{(k)})^{2}}<\varepsilon.
Vou aplicar isso iterativamente a partir de x_{0}=0,5, y_{0}=0,5, mostrando contas passo a passo.]

Passo 3

Iteração 0 \to 1 (a partir de x_{0}=0,5,\;y_{0}=0,5):
  • Calcular F(x_{0},y_{0}):
f_{1}(0,5,0,5)=0,5^{2}+0,5^{2}-1=0,25+0,25-1=-0,5,
f_{2}(0,5,0,5)=0,5^{2}-0,5=0,25-0,5=-0,25.
Logo
F(x_{0},y_{0})=\begin{pmatrix}-0,5\\[4pt]-0,25\end{pmatrix}, \qquad -F(x_{0},y_{0})=\begin{pmatrix}0,5\\[4pt]0,25\end{pmatrix}.
  • Calcular Jacobiana em (0,5,0,5):
J(0,5,0,5)=\begin{pmatrix}2\cdot0,5 & 2\cdot0,5\\[4pt]2\cdot0,5 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
  • Resolver o sistema linear
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\Delta x\\[4pt]\Delta y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0,5\\[4pt]0,25\end{pmatrix}.
Este sistema dá as equações
\Delta x+\Delta y=0,5, \qquad \Delta x-\Delta y=0,25.
Somando as duas: 2\Delta x=0,75\Rightarrow \Delta x=0,375.
Então \Delta y=0,5-0,375=0,125.
  • Norma do incremento:
\|\Delta\|_{2}=\sqrt{0,375^{2}+0,125^{2}}=\sqrt{0,140625+0,015625}=\sqrt{0,15625}=0,395284\dots
Como 0,395284>\varepsilon=0,01, não paramos.
  • Atualizar:
x_{1}=0,5+0,375=0,875,\qquad y_{1}=0,5+0,125=0,625.]

Passo 4

Iteração 1 \to 2 (a partir de x_{1}=0,875,\;y_{1}=0,625):
  • Calcular F(x_{1},y_{1}). Usando frações exatas x_{1}=\tfrac{7}{8},\;y_{1}=\tfrac{5}{8}:
f_{1}=\left(\tfrac{7}{8}\right)^{2}+\left(\tfrac{5}{8}\right)^{2}-1=\tfrac{49}{64}+\tfrac{25}{64}-1=\tfrac{74}{64}-1=\tfrac{10}{64}=\tfrac{5}{32}=0,15625,
f_{2}=\left(\tfrac{7}{8}\right)^{2}-\tfrac{5}{8}=\tfrac{49}{64}-\tfrac{40}{64}=\tfrac{9}{64}=0,140625.
Logo -F(x_{1},y_{1})=\begin{pmatrix}-0,15625\\[4pt]-0,140625\end{pmatrix}.
  • Jacobiana em (x_{1},y_{1}):
J=\begin{pmatrix}2x_{1} & 2y_{1}\\[4pt]2x_{1} & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{7}{4} & \tfrac{5}{4}\\[4pt]\tfrac{7}{4} & -1\end{pmatrix}.
  • Resolver J\Delta=-F. Em forma de equações, multiplicando para eliminar denominadores convenientemente:
    Multiplicando a primeira linha por 32 e a segunda por 64 obtém-se o sistema inteiro
56\Delta x+40\Delta y=-5,
112\Delta x-64\Delta y=-9.
Resolvendo (eliminação): obtém-se
\Delta x=-\dfrac{85}{1008}\approx-0,08432698, \qquad \Delta y=-\dfrac{1}{144}\approx-0,00694444.
  • Norma do incremento:
\|\Delta\|_{2}=\sqrt{\left(-\dfrac{85}{1008}\right)^{2}+\left(-\dfrac{1}{144}\right)^{2}} \approx\sqrt{0,007107+0,000048}=0,08457\dots
Como 0,08457>\varepsilon=0,01, não paramos.
  • Atualizar:
x_{2}=x_{1}+\Delta x=0,875-\dfrac{85}{1008}=\dfrac{797}{1008}\approx0,790673,
y_{2}=0,625-\dfrac{1}{144}=\dfrac{89}{144}\approx0,618056.]

Passo 5

Iteração 2 \to 3 (a partir de x_{2}\approx0,790673,\;y_{2}\approx0,618056):
  • Calcular F(x_{2},y_{2}) (valores aproximados):
f_{1}(x_{2},y_{2})=x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-1\approx0,6251664+0,3821080-1\approx0,0072744,
f_{2}(x_{2},y_{2})=x_{2}^{2}-y_{2}\approx0,6251664-0,6180556\approx0,0071108.
Logo -F\approx\begin{pmatrix}-0,0072744\\[4pt]-0,0071108\end{pmatrix}.
  • Jacobiana em (x_{2},y_{2}):
2x_{2}\approx1,581349,\qquad 2y_{2}\approx1,236111,
J\approx\begin{pmatrix}1,581349 & 1,236111\\[4pt]1,581349 & -1\end{pmatrix}.
  • Resolver J\Delta=-F. Subtraindo a segunda equação da primeira, obtém-se diretamente (1,236111+1)\Delta y\approx -0,0072744-(-0,0071108)=-0,0001636, portanto
\Delta y\approx\dfrac{-0,0001636}{2,236111}\approx-0,00007321.
Usando a segunda equação para \Delta x:
1,581349\Delta x- \Delta y\approx -0,0071108 \quad\Rightarrow\quad \Delta x\approx\dfrac{-0,0071108+\Delta y}{1,581349}\approx-0,0045448.
  • Norma do incremento:
\|\Delta\|_{2}\approx\sqrt{(-0,0045448)^{2}+(-0,00007321)^{2}}\approx0,004545<0,01.
Agora a norma do incremento é menor que \varepsilon=0,01, portanto paramos conforme o critério estabelecido.
  • Atualizar (valor aproximado final obtido pela última iteração):
x_{3}=x_{2}+\Delta x\approx0,790673-0,0045448\approx0,786128,
y_{3}=y_{2}+\Delta y\approx0,618056-0,00007321\approx0,617983.]

Passo 6

Comentário didático final e verificação rápida (opcional, para ganhar confiança):
  • Pelas equações, da segunda temos y=x^{2}. Substituindo na primeira obtém-se
x^{2}+x^{4}=1\quad\Leftrightarrow\quad u^{2}+u-1=0\\ \text{com }u=x^{2}.
A solução positiva para u é u=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx0,618034, portanto x=\pm\sqrt{u}\approx\pm0,786151 e y=u\approx0,618034. Como o chute inicial tinha x_{0}=0,5>0, a iteração convergiu para a raiz com x>0, que bate com os valores aproximados obtidos pelo método de Newton acima (diferença pequena devido à parada em \varepsilon=0,01).

Resposta

x\approx0,78613,\;y\approx0,61798

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