usando o método de Newton para sistemas, com condição inicial x_{0}=0,5, y_{0}=0,5 e tolerância \varepsilon=0,01.
Informações dadas:
As duas equações do sistema são x^{2}+y^{2}-1=0 e x^{2}-y=0.
O chute inicial é x_{0}=0,5 e y_{0}=0,5.
O critério de parada pedido é \varepsilon=0,01 (vamos interpretar isto como parar quando a norma euclidiana do incremento \Delta=(\Delta x,\Delta y) for menor que \varepsilon: \|\Delta\|_{2}<\varepsilon).]
Passo 2
Explicando o método (passo-a-passo didático):
Para métodos de Newton em sistemas, define-se o vetor função
Resolver J\Delta=-F. Em forma de equações, multiplicando para eliminar denominadores convenientemente:
Multiplicando a primeira linha por 32 e a segunda por 64 obtém-se o sistema inteiro
Resolver J\Delta=-F. Subtraindo a segunda equação da primeira, obtém-se diretamente (1,236111+1)\Delta y\approx -0,0072744-(-0,0071108)=-0,0001636, portanto
A solução positiva para u é u=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\approx0,618034, portanto x=\pm\sqrt{u}\approx\pm0,786151 e y=u\approx0,618034. Como o chute inicial tinha x_{0}=0,5>0, a iteração convergiu para a raiz com x>0, que bate com os valores aproximados obtidos pelo método de Newton acima (diferença pequena devido à parada em \varepsilon=0,01).