Verifique que a função y=x^{5}+x^{2}+1 satisfaz a equação
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=x^{5}+5 x^{4}+20 x^{3}+x^{2}+2 x+3

Passo 1

Enunciado dado: a função y é
y = x^{5} + x^{2} + 1.
O que precisa ser verificado: substituindo y na expressão y^{\prime\prime}+y^{\prime}+y obtém-se
x^{5}+5x^{4}+20x^{3}+x^{2}+2x+3.
Resumo do pedido: calcular y^{\prime} e y^{\prime\prime}, somar y^{\prime\prime}+y^{\prime}+y e mostrar que o resultado é exatamente o polinômio dado.

Passo 2

Relembrando a regra básica que vou usar (explicação didática): a derivada de uma potência x^{n} é dada pela regra do expoente:
\text{se } f(x)=x^{n}\text{ então }f'(x)=n x^{n-1}.ã
Além disso, a derivada de uma constante é zero. Aplicando isso termo a termo em y:
Derivar x^{5}: pela regra do expoente vem 5x^{4}.
Derivar x^{2}: vem 2x.
Derivar 1: vem 0.
Portanto
y' = 5x^{4} + 2x.

Passo 3

Segunda derivada: toma-se a derivada de y'. Repetindo a regra do expoente termo a termo:
Derivar 5x^{4}: 5 é constante multiplicativa, fica 5\cdot 4x^{3}=20x^{3}.
Derivar 2x: 2 é constante multiplicativa, fica 2.
Assim
y'' = 20x^{3} + 2.

Passo 4

Agora somo as três expressões y^{\prime\prime}+y^{\prime}+y. Vou escrever cada uma e somar termo a termo:
y'' = 20x^{3} + 2,
y' = 5x^{4} + 2x,
y = x^{5} + x^{2} + 1.
Somando:
y''+y'+y = (20x^{3}+2) + (5x^{4}+2x) + (x^{5}+x^{2}+1).
Agrupando termos de mesma potência de x:
y''+y'+y = x^{5} + 5x^{4} + 20x^{3} + x^{2} + 2x + (2+1).
Calculando a soma das constantes:
2+1=3,
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y''+y'+y = x^{5} + 5x^{4} + 20x^{3} + x^{2} + 2x + 3.

Passo 5

Interpretação final e dica prática: obtive exatamente o polinômio pedido. Em geral, para verificar que uma função satisfaz uma equação diferencial linear, calcule as derivadas necessárias e substitua; se a identidade algébrica (para todo x) for verdadeira, a verificação está feita. Está tudo ok aqui.

Resposta

y''+y'+y = x^{5} + 5x^{4} + 20x^{3} + x^{2} + 2x + 3

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