Verifique que a função
satisfaz a equação
Passo 1
Enunciado dado: a função
é
O que precisa ser verificado: substituindo
na expressão
obtém-se
Resumo do pedido: calcular
e
, somar
e mostrar que o resultado é exatamente o polinômio dado.
Passo 2
Relembrando a regra básica que vou usar (explicação didática): a derivada de uma potência
é dada pela regra do expoente:
Além disso, a derivada de uma constante é zero. Aplicando isso termo a termo em
:
Derivar
: pela regra do expoente vem
.
Derivar
: vem
.
Derivar
: vem
.
Portanto
Passo 3
Segunda derivada: toma-se a derivada de
. Repetindo a regra do expoente termo a termo:
Derivar
:
é constante multiplicativa, fica
.
Derivar
:
é constante multiplicativa, fica
.
Assim
Passo 4
Agora somo as três expressões
. Vou escrever cada uma e somar termo a termo:
Somando:
Agrupando termos de mesma potência de
:
Calculando a soma das constantes:
logo
Passo 5
Interpretação final e dica prática: obtive exatamente o polinômio pedido. Em geral, para verificar que uma função satisfaz uma equação diferencial linear, calcule as derivadas necessárias e substitua; se a identidade algébrica (para todo
) for verdadeira, a verificação está feita. Está tudo ok aqui.