Calcule os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{2 x}{3}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{2x}{3}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é do tipo \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{\frac{2x}{3}} quando x\to\infty.
  • Ao substituir diretamente, a base tende a 1 e o expoente tende a +\infty, ou seja é uma forma indeterminada do tipo 1^{\infty}.
  • O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Escolha do método (e por que): para limites com forma indeterminada 1^{\infty} é muito prático trabalhar com o logaritmo natural da expressão. Isso transforma potência em produto e converte a indeterminação em algo que costuma ser mais fácil de avaliar (uma forma 0\cdot\infty ou 0/0 etc.). Depois de calcular o limite do logaritmo, recupera-se o limite original exponenciando. Vamos aplicar exatamente isso.

Passo 3

Definimos a expressão e tomamos o logaritmo natural. Seja
y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{2x}{3}}.
Tomando \ln dos dois lados:
\ln y=\frac{2x}{3}\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Reescrevemos para isolar uma forma limite conhecida. Observe que
\frac{2x}{3}\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{2}{3}\left[x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)\right].
Agora vamos estudar o limite de x\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right) quando x\to\infty.

Passo 4

Avaliar \displaystyle\lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right). Faça a substituição u=\dfrac{1}{x}. Quando x\to\infty temos u\to 0^+. Então
x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{\ln(1+u)}{u}.
Logo
\lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}.
Essa é uma forma 0/0. Aplicando a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador em relação a u):
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=\lim_{u\to 0}\frac{\frac{d}{du}\ln(1+u)}{\frac{d}{du}u} =\lim_{u\to 0}\frac{1}{1+u}=1.
Portanto
\lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=1.

Passo 5

Voltando para \ln y: usando o resultado do passo anterior,
\lim_{x\to\infty}\ln y=\frac{2}{3}\cdot 1=\frac{2}{3}.
Agora usamos a continuidade da função exponencial para concluir o limite da y: se \ln y\to \dfrac{2}{3} então y\to e^{2/3}.

Resposta

e^{\tfrac{2}{3}}

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