Calcule os limites a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão é do tipo
quando . - Ao substituir diretamente, a base tende a
e o expoente tende a , ou seja é uma forma indeterminada do tipo . - O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Escolha do método (e por que): para limites com forma indeterminada
é muito prático trabalhar com o logaritmo natural da expressão. Isso transforma potência em produto e converte a indeterminação em algo que costuma ser mais fácil de avaliar (uma forma
ou
etc.). Depois de calcular o limite do logaritmo, recupera-se o limite original exponenciando. Vamos aplicar exatamente isso.
Passo 3
Definimos a expressão e tomamos o logaritmo natural. Seja
Tomando
dos dois lados:
Reescrevemos para isolar uma forma limite conhecida. Observe que
Agora vamos estudar o limite de
quando
.
Passo 4
Avaliar
. Faça a substituição
. Quando
temos
. Então
Logo
Essa é uma forma
. Aplicando a regra de L’Hôpital (derivando numerador e denominador em relação a
):
Portanto
Passo 5
Voltando para
: usando o resultado do passo anterior,
Agora usamos a continuidade da função exponencial para concluir o limite da
: se
então
.