Determine onde a função f(x)=\left|x^{2}-4\right|+\left|x^{2}+1\right| é derivável.

Passo 1

O enunciado pede que se determine onde a função f é derivável. A função dada é
f(x)=\left|x^{2}-4\right|+\left|x^{2}+1\right|.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é soma de dois valores absolutos de expressões polinomiais: \left|x^{2}-4\right| e \left|x^{2}+1\right|.
  • Note que x^{2}+1 é sempre positivo (para todo x, tem x^{2}+1\ge 1), portanto \left|x^{2}+1\right| pode simplificar.
  • A pergunta única é: para quais x\in\mathbb{R} a função f possui derivada (i.e., é derivável)?

Passo 2

Entender o comportamento das partes com valor absoluto.
  • Primeiro, analisar \left|x^{2}+1\right|. Como \,x^{2}+1\ge 1>0 para todo x, vale
\left|x^{2}+1\right| = x^{2}+1\quad\text{para todo }x.
Isto significa que essa parcela é uma função polinomial suave (infinitamente diferenciável) em toda a reta — não gera problemas de derivabilidade.
  • O possível problema vem de \left|x^{2}-4\right|. O interior x^{2}-4 muda de sinal quando x^{2}-4=0, ou seja, em x=\pm 2. Esses pontos podem introduzir quinas (cantos) onde a derivada não exista. Portanto vamos tratar \left|x^{2}-4\right| por partes, separando os intervalos delimitados pelas raízes x=-2 e x=2.

Passo 3

Escrever [f) de forma piecewise (por partes) usando o sinal de x^{2}-4.
  • Para |x|\ge 2 (ou seja x\le -2 ou x\ge 2), tem x^{2}-4\ge 0 e logo
\left|x^{2}-4\right| = x^{2}-4.
Assim, para |x|\ge 2,
f(x) = (x^{2}-4) + (x^{2}+1) = 2x^{2}-3.
  • Para |x|<2 (ou seja -2<x<2), tem x^{2}-4<0 e então
\left|x^{2}-4\right| = -(x^{2}-4) = 4-x^{2}.
Logo, para |x|<2,
f(x) = (4-x^{2}) + (x^{2}+1) = 5.
Resumindo num só lugar:
f(x)= \begin{cases} 2x^{2}-3, & \text{se }|x|\ge 2,\\[4pt] 5, & \text{se }|x|<2. \end{cases}
Comentário didático curto: foi usada a propriedade \left|g(x)\right|=g(x)\] quando \(g(x)\ge0 e \left|g(x)\right|=-g(x) quando g(x)<0. Aqui g(x)=x^{2}-4.]

Passo 4

Calcular as derivadas nas regiões onde a expressão é polinomial (ou constante).
  • Para |x|>2 (aberto: x<-2 ou x>2), a expressão é f(x)=2x^{2}-3. Derivando:
f'(x)=\frac{d}{dx}(2x^{2}-3)=4x\qquad\text{para }|x|>2.
  • Para -2<x<2 (interior), a expressão é a constante f(x)=5. A derivada de uma constante é zero:
f'(x)=0\qquad\text{para }-2<x<2.
Até aqui temos derivada bem definida em todos os pontos que não são \pm 2. Agora falta checar a derivabilidade exatamente em x=2 e x=-2, porque aí a definição muda de ramo.

Passo 5

Verificar a derivabilidade em x=2 e x=-2 calculando as derivadas laterais (direita e esquerda).
Lembrando: uma função é derivável num ponto a se as derivadas laterais existirem e forem iguais:
f'_{-}(a)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\qquad f'_{+}(a)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
e precisar f'_{-}(a)=f'_{+}(a).
Primeiro precisamos do valor f(2) e f(-2). Podemos usar a expressão por partes: para |x|=2 cabe usar a fórmula de qualquer um dos ramos (ambos coincidem no valor, porque valor absoluto é contínuo).
  • Pelo ramo |x|<2 ou |x|\ge2 avaliando em x=2:
f(2)=5\quad\text{(pois pelo ramo interior \(f=5\) ou pelo ramo exterior \(2\cdot 2^{2}-3=2\cdot4-3=8-3=5\))}.
Analogamente f(-2)=5.
Agora derivadas laterais.
  • Em x=2:
    • Derivada pela esquerda ( x\to 2^{-}): para x<2 e próximo de 2 estamos no ramo constante, então
    f'_{-}(2)=0.
    • Derivada pela direita ( x\to 2^{+}): para x>2 próximo de 2 estamos no ramo 2x^{2}-3, cuja derivada é 4x. Portanto a derivada à direita em 2 vale
    f'_{+}(2)=\lim_{x\to 2^{+}}4x=4\cdot 2=8.
    Como f'_{-}(2)=0\neq 8=f'_{+}(2), as derivadas laterais são diferentes e assim f NÃO é derivável em x=2.
  • Em x=-2:
    • Derivada pela direita ( x\to -2^{+}): para x>-2 e próximo de -2 (intervalo -2<x<2) temos a constante, então
    f'_{+}(-2)=0.
    • Derivada pela esquerda ( x\to -2^{-}): para x<-2 próximo de -2 usamos 4x, então
    f'_{-}(-2)=\lim_{x\to -2^{-}}4x=4\cdot(-2)=-8.
    Como f'_{-}(-2)=-8\neq 0=f'_{+}(-2), as derivadas laterais diferem e portanto f NÃO é derivável em x=-2.

Passo 6

Conclusão e comentário pedagógico final.
  • A única origem possível de não derivabilidade era onde x^{2}-4=0, i.e., em x=\pm 2. Confirmamos que nesses pontos as derivadas laterais existem mas são diferentes, logo há quinas e f não é derivável em \pm 2.
  • Em todos os outros pontos a função é igual a um polinômio (ou constante) localmente, portanto é derivável.
  • Resumindo a prática: ao ver somas de valores absolutos, o procedimento padrão é:
    1. identificar onde cada expressão dentro do valor absoluto é zero (esses são os pontos críticos);
    2. dividir a reta em intervalos onde os sinais são constantes;
    3. retirar o valor absoluto com o sinal correto em cada intervalo, obter funções mais simples e derivá-las;
    4. checar os pontos críticos pelas derivadas laterais.
Força aí — é bem comum encontrar esse tipo de questão na prova. Se quiser, posso te passar uma versão parecida para treinar (por exemplo \left|x^{2}-1\right|+\left|x^{2}-9\right|).

Resposta

\displaystyle f\text{ é derivável em }\mathbb{R}\setminus\{\,-2,2\,\}\text{ e não é derivável em }x=-2\text{ e }x=2éáãéá.

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