Calcule os limites a seguir.
\lim _{(x, y) \rightarrow(3,-2)} \frac{4 x^{4}}{y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y)=\frac{4x^{4}}{y^{3}}
quando (x,y)\to(3,-2).
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e uso da continuidade de quocientes de funções contínuas, desde que o denominador não se anule no ponto.

Passo 2

Observamos que tanto x\mapsto4x^{4} quanto y\mapsto y^{3} são funções polinomiais, portanto contínuas em todo \mathbb{R}^{2}. Para aplicar a substituição direta, precisamos verificar que o denominador não zera no ponto-alvo.
\lim_{(x,y)\to(3,-2)}y^{3}=(-2)^{3}=-8\neq0.

Passo 3

Como o denominador tende a -8\neq0, podemos substituir diretamente (x,y)=(3,-2) na expressão de f:
\lim_{(x,y)\to(3,-2)}\frac{4x^{4}}{y^{3}} =\frac{4\cdot3^{4}}{(-2)^{3}}.

Passo 4

Calculamos separadamente:
3^{4}=81, \quad (-2)^{3}=-8,
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\frac{4\cdot81}{-8} =\frac{324}{-8} =-\frac{324}{8} =-\frac{81}{2}.

Resposta

-\tfrac{81}{2}

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