Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{4} y^{2}}{x^{5}+y^{10}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{4}y^{2}}{x^{5}+y^{10}}
não existe. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e a técnica que vamos usar é comparar os valores ao aproximar por curvas diferentes — se dois caminhos darem resultados distintos, o limite não existe.

Passo 2

Considere a aproximação pela curva y=0. Substituindo em
f(x,y)=\frac{x^{4}y^{2}}{x^{5}+y^{10}}
vem
f(x,0)=\frac{x^{4}\cdot0^{2}}{x^{5}+0^{10}}=0.
Logo,
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop y=0} \frac{x^{4}y^{2}}{x^{5}+y^{10}}=0.

Passo 3

Agora aproxime por y=\sqrt{x} com x\ge0. Nesse caso
y^{2}=(\sqrt{x})^{2}=x, \quad y^{10}=(\sqrt{x})^{10}=x^{5},
então
f\bigl(x,\sqrt{x}\bigr) =\frac{x^{4}\,(x)}{x^{5}+x^{5}} =\frac{x^{5}}{2x^{5}} =\frac12 \quad(\text{para }x>0).
Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop y=\sqrt{x}} \frac{x^{4}y^{2}}{x^{5}+y^{10}} =\frac12.

Passo 4

Como ao aproximar por y=0 o limite é 0 e por y=\sqrt{x} o limite é \tfrac12, obtemos valores diferentes. Isso mostra que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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