Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe
Vamos usar o critério de trajetórias: calcular limites ao longo de curvas diferentes e verificar que dão resultados distintos.
Passo 2
Considere a trajetória ao longo do eixo
, isto é, coloque
. Então, para
,
Logo, a aproximação por
dá limite igual a
.
Passo 3
Agora considere trajetórias do tipo
com constante
. Substituindo em
, obtemos
que independe de
e é o valor do limite ao longo de
.
Passo 4
Note que o valor
depende de . Por exemplo:
depende de
- Se
, obtemos . - Se
, obtemos .
Como trajetórias diferentes dão resultados diferentes, o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe.