Use limites ao longo de curvas para provar que os limites abaixo não existem.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{2} x}{7 x^{2}+2 y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{y^{2}x}{7x^{2}+2y^{4}}.
Vamos usar o critério de trajetórias: calcular limites ao longo de curvas diferentes e verificar que dão resultados distintos.

Passo 2

Considere a trajetória ao longo do eixo x, isto é, coloque y=0. Então, para x\neq0,
\frac{y^{2}x}{7x^{2}+2y^{4}} =\frac{0^{2}\,x}{7x^{2}+2\cdot 0^{4}} =0.
Logo, a aproximação por y=0 dá limite igual a 0.

Passo 3

Agora considere trajetórias do tipo
x=m\,y^{2},
com constante m. Substituindo em
\frac{y^{2}x}{7x^{2}+2y^{4}}, obtemos
\frac{y^{2}\,(m\,y^{2})}{7\,(m\,y^{2})^{2}+2\,y^{4}} =\frac{m\,y^{4}}{7m^{2}\,y^{4}+2\,y^{4}} =\frac{m}{7m^{2}+2},
que independe de y e é o valor do limite ao longo de x=m\,y^{2}.

Passo 4

Note que o valor
\frac{m}{7m^{2}+2}
depende de m. Por exemplo:
  • Se m=0, obtemos 0.
  • Se m=1, obtemos \tfrac{1}{7+2}=\tfrac{1}{9}\neq0.
Como trajetórias diferentes dão resultados diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados